B-2

$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} $

ベクトル（vector）

1 平面上のベクトル

\[例題１正六角形ABCDEFにおいて　\vec{AB}=\vec{a},\vec{AF}=\vec{b} とするとき，\\
   次のベクトルを　\vec{a},\vec{b}で表わせ。
   (1)\vec{CE}　　　(2)\vec{BD}\] \[例題２　\vec{a}=(2,3),\vec{b}=(-1,2)のとき，\\
(1)\vec{c}=(5,4)を　m\vec{a}+n\vec{b}の形に表せ。\\
   (2)\vec{a}+t\vec{b}が\vec{c}と平行になるように，実数tの値を求めよ。　\] Geogebraでもやってみると，ベクトルは縦表記，方程式も解けるし，優秀ソフトだ。
先の話だが例題２は斜交座標も見える。
図を見ながらが多いので，ツールバーを押しながら。
solve(u=m*a+n*n,{m,n})と書くところだが。

\[例題３　|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot\vec{b}=4であるとき，|\vec{a}+2\vec{b}|の値を求めよ。\] \[例題４　|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1,である2つのベクトル　\vec{a},\vec{b}において，\vec{a}-\vec{b}と　2\vec{a}+5\vec{b}が垂直である。\\
このとき，\vec{a},\vec{b}のなす角\thetaを求めよ。\]

ここはGeogebraちょっと苦しい。下のMaximaのほうが良い。
位置関係なので，ベクトルaを止めた。

2 ベクトルの応用

\[例題１　(1)平面上に3点A(3,-2),B(7,-1),C(-1,4)がある。\\
   四角形ABCDが平行四辺形になるような点Dの座標を求めよ。\\
   (2)四角形ABCDの辺BCを3:1に内分する点をE，辺CDを1:4に外分する点をFとすると\\
   3点A,E,Fは一直線上にあることを示せ。\] Geogebraですね。D=C+vector(B,A)とか，E=(B+3C)/4，F=(4C-D)/3とか書けばいいんです。
相似が見えてベクトルを使うまでもないですが。

\[例題２　OABにおいて，辺OAを2:3に内分する点をM，辺OBを4:3に内分する点をN\\
線分ANと線分BMの交点をPとするとき\vec{OP}を\vec{OA}=\vec{a}と\vec{OB}=\vec{b}を用いて表わせ。\]

\[例題３　実数　s,tが s\ge 0,t\ge 0,s+t=\frac{1}{2}を満たしながら変化するとき，\\
点Pの存在する範囲を求めよ。\]

\[２直線　2x-3y-3=0,x+5y-10=0 のなす角\thetaを求めよ。
ただし，0^\circ\le\theta\le90^\circとする。\]

3 空間におけるベクトル

\[例題１　\vec{a}=(1,1,1),\vec{b}=(0,1,-1),\vec{c}=(0,1,0)のとき，\\
   (1) \vec{p}=(3,3,5)をl\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}の形に表せ。\\
   (2) ２つのベクトル\vec{a},\vec{b}に垂直な単位ベクトルを求めよ。\] \[例題２　次の４点が同一平面上にあるように，xの値を求めよ。\\
   A(2,-3,1),B(1,5,3),C(0,1,1),D(x,0,4)\] \[例題３　２点A(0,1,4),B(4,5,0)を通る直線 l 上の点Pにおいて，\\
   原点OとPを結ぶ直線　mと直線 lが直交するという。Pの座標を求めよ。\]

ベクトル（vector）

1 平面上のベクトル

\[例題１正六角形ABCDEFにおいて　\vec{AB}=\vec{a},\vec{AF}=\vec{b} とするとき，\\
   次のベクトルを　\vec{a},\vec{b}で表わせ。
   (1)\vec{CE}　　　(2)\vec{BD}\] \[例題２　\vec{a}=(2,3),\vec{b}=(-1,2)のとき，\\
(1)\vec{c}=(5,4)を　m\vec{a}+n\vec{b}の形に表せ。\\
   (2)\vec{a}+t\vec{b}が\vec{c}と平行になるように，実数tの値を求めよ。　\] 成分で一次結合の係数を求めるマクロを作って，六角形のベクトルも成分表示してこれを使うことにする。
平行条件は行列式が0になることでやってしまえと。

(%i1)

liin(a,b,c,d,e,f):=block(
return(solve([m*a+n*c=e,m*b+n*d=f],[m,n]))
)$

(%i2)

liin(-1,sqrt(3),-1,-sqrt(3),0,-2*sqrt(3));

\[(\%o2) [[m=-1,n=1]]\]

(%i3)

liin(-1,sqrt(3),-1,-sqrt(3),-3,-sqrt(3));

\[(\%o3) [[m=1,n=2]]\]

(%i4)

liin(2,3,-1,2,5,4);

\[(\%o4) [[m=2,n=-1]]\]

(%i5)

solve(determinant(matrix([2,3]+t*[-1,2],[5,4]))=0,t);

\[(\%o5) [t=-\frac{1}{2}]\] \[例題３　|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot\vec{b}=4であるとき，|\vec{a}+2\vec{b}|の値を求めよ。\] \[例題４　|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1,である2つのベクトル　\vec{a},\vec{b}において，\vec{a}-2\vec{b}と　2\vec{a}+5\vec{b}が垂直である。\\
このとき，\vec{a},\vec{b}のなす角\thetaを求めよ。\] 内積は dot あるいは innerproduct のようだ。

(%i6)

p:expand((a+2*b).(a+2*b));

\[\tag{p}\label{p} 2\left( b\mathit{ . }a\right) +4{{b}^{2}}+2\left( a\mathit{ . }b\right) +{{a}^{2}}\]

(%i7)

sqrt(sublis([a=2,b=3],(subst(4,a.b,subst(4,b.a,p)))));

\[(\%o7) 2\sqrt{14}\]

(%i8)

p:expand((a-b).(2*a+5*b))$

(%i9)

solve(sublis([a=2,b=1],(subst(2*1*cos(x),a.b,subst(2*1*cos(x),b.a,p)))),x);

\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\] \[(\%o9) [x=\frac{2\ensuremath{\pi} }{3}]\]

2 ベクトルの応用

\[例題１　(1)平面上に3点A(3,-2),B(7,-1),C(-1,4)がある。\\
   四角形ABCDが平行四辺形になるような点Dの座標を求めよ。\\
   (2)四角形ABCDの辺BCを3:1に内分する点をE，辺CDを1:4に外分する点をFとすると\\
   3点A,E,Fは一直線上にあることを示せ。\] Maximaなら，２つのベクトルの作る三角形の面積をマクロで作って

(%i10)

area(a,b,c,d):=(determinant(matrix([a,b],[c,d])))$

(%i11)

area(3/4,1,1,4/3);

\[(\%o11) 0\] \[例題２　OABにおいて，辺OAを2:3に内分する点をM，辺OBを4:3に内分する点をN\\
線分ANと線分BMの交点をPとするとき\vec{OP}を\vec{OA}=\vec{a}と\vec{OB}=\vec{b}を用いて表わせ。\] OA を k:l，OB を m:n に内分する点をそれぞれ C,B と結んだ線分の交点のベクトルを求めるマクロを chebamene（チェバ・メネラウス）として

(%i12)

chebamene(k,l,m,n):=ratsimp((n*k*a+m*l*b)/(n*k+m*l+n*l))$

(%i13)

chebamene(2,3,4,3);

\[(\%o13) \frac{4b+2a}{9}\] \[例題３　実数　s,tが s\ge 0,t\ge 0,s+t=\frac{1}{2}を満たしながら変化するとき，\\
点Pの存在する範囲を求めよ。\]
\[２直線　2x-3y-3=0,x+5y-10=0 のなす角\thetaを求めよ。
ただし，0^\circ\le\theta\le90^\circとする。\] 平面状の２つのベクトルのなす角を求めるマクロ

(%i14)

ang(a,b,c,d):=acos(radcan([a,b].[c,d]/sqrt(a^2+b^2)/sqrt(c^2+d^2)))$

(%i15)

ang(2,-3,1,5);

\[(\%o15) \frac{3\ensuremath{\pi} }{4}\]

3 空間におけるベクトル

\[例題１　\vec{a}=(1,1,1),\vec{b}=(0,1,-1),\vec{c}=(0,1,0)のとき，\\
(1) \vec{p}=(3,3,5)をl\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}の形に表せ。\\
(2) ２つのベクトル\vec{a},\vec{b}に垂直な単位ベクトルを求めよ。\] ３次元の１次結合の係数を求めるマクロ
平面と違うのは外積があること
外積はあるんだろうか，探したが見当たらないので，自分で作ってと
単位ベクトル（unitvector）を求めるために，eigen（行列の固有値）をロードして

(%i16)

liin3(a,b,c,d,e,f,g,h,i,o,p,q):=block(
return(solve([l*a+m*d+n*g=o,l*b+m*e+n*h=p,l*c+m*f+n*i=q],[l,m,n]))
)$

(%i17)

liin3(1,1,1,0,1,-1,0,1,0,3,3,5);

\[(\%o17) [[l=3,m=-2,n=2]]\]

(%i18)

outprod(a,b,c,e,f,g):=[b*g-c*f,c*e-a*g,a*f-b*e]$

(%i19)

load ("eigen")$

(%i20)

uvect(outprod(1,1,1,0,1,-1));

\[(\%o20) [-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}]\] \[例題２　次の４点が同一平面上にあるように，xの値を求めよ。\\
A(2,-3,1),B(1,5,3),C(0,1,1),D(x,0,4)\] ４点が同一平面状にある条件をマクロで作って（もっといい方法がありそうだが）

(%i21)

plane(a,b,c,l,m,n,o,p,q,s,t,u):=block(
solve(determinant(matrix(([l,m,n]-[a,b,c]),([o,p,q]-[a,b,c]),([s,t,u]-[a,b,c])))=0,x)
)$

(%i22)

plane(2,-3,1,1,5,3,0,1,1,x,0,4);

\[(\%o22) [x=5]\]

\[例題３　２点A(0,1,4),B(4,5,0)を通る直線 l 上の点Pにおいて，\\
原点OとPを結ぶ直線　mと直線 lが直交するという。Pの座標を求めよ。\]

(%i23)

l:(1-t)*[0,1,4]+t*[4,5,0];

\[\tag{l}\label{l} [4t,4t+1,4\left( 1-t\right) ]\]

(%i24)

solve(l.([0,1,4]-[4,5,0])=0,t);

\[(\%o24) [t=\frac{1}{4}]\]

(%i25)

ev(l,%);

\[(\%o25) [1,2,3]\]

ベクトル（vector）

1 平面上のベクトル

有向線分：directed segment，始点：starting point，終点：end(terminal) point
ベクトル：vector（広辞苑に Vektor ﾄﾞｲﾂとあるので元はドイツか，ラテン語「運ぶもの」の意から）
　向き：direction，大きさ：size
逆ベクトル：inverse vector，零ベクトル：zero vector，単位ベクトル：unit vector

和:sum，差:differrence，加法:addition，減法:subtraction
実数倍:scalar multiple scale ラテン語「階段, はしご」の意から
交換法則：commutative law，結合法則：associative law，分配法則：distributive law
　commuteラテン語「すっかり取り換える」の意から,associateラテン語「仲間に加わる」の意から,distributeラテン語「別々に与える」の意から

平行：parallel，１次独立：linearly independent，分解：decompose
基本ベクトル：fundamental vector，成分：component
　コンポは日本語
角：angle，内積：innerproduct，垂直：perpendicular,vertical,normal
外積：outerproduct の利用を考えるか
perpendicularラテン語「鉛直線」の意から，vertexラテン語から最高点・頂点・天頂，normラテン語「(大工の)物差し」の意から日本語の「ノルマ」はロシヤ語からで, 英語ではない。

2 ベクトルの応用

位置ベクトル：potition vector
分点：division，内分点：internal division，外分点：external division
　重心：center of gravity
方向ベクトル：direction vector，法線ベクトル：normal vector
ベクトル方程式：vectorial equation
媒介変数：parameter
中線定理：parallelogram（平行四辺形）theorem
　垂心：orthocenter
　　orthodoxギリシャ語「正しい意見」の意から

3 空間におけるベクトル

交わる：intersect，ねじれの位置：twisted position
直交：orthgonal
座標軸：coordinate axis，原点：origin，座標平面：coordinate plane
垂線：perpendicular，垂線の足：foot of perpendicular
平行六面体：parallelpiped平行四辺形のパイプpipe ラテン語ピーピーいう」の意から

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