\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

ベクトル(vector)

1 平面上のベクトル

有向線分:directed segment,始点:starting point,終点:end(terminal) point
ベクトル:vector(広辞苑に Vektor ドイツとあるので元はドイツか,ラテン語「運ぶもの」の意から)
 向き:direction,大きさ:size
逆ベクトル:inverse vector,零ベクトル:zero vector,単位ベクトル:unit vector

和:sum,差:differrence,加法:addition,減法:subtraction
実数倍:scalar multiple scale ラテン語「階段, はしご」の意から
交換法則:commutative law,結合法則:associative law,分配法則:distributive law
 commuteラテン語「すっかり取り換える」の意から,associateラテン語「仲間に加わる」の意から,distributeラテン語「別々に与える」の意から

平行:parallel,1次独立:linearly independent,分解:decompose
基本ベクトル:fundamental vector,成分:component
 コンポは日本語
角:angle,内積:innerproduct,垂直:perpendicular,vertical,normal
外積:outerproduct の利用を考えるか
perpendicularラテン語「鉛直線」の意から,vertexラテン語から最高点・頂点・天頂,normラテン語「(大工の)物差し」の意から日本語の「ノルマ」はロシヤ語からで, 英語ではない。
\[例題1 正六角形ABCDEFにおいて \vec{AB}=\vec{a},\vec{AF}=\vec{b} とするとき,\\
   次のベクトルを \vec{a},\vec{b}で表わせ。
   (1)\vec{CE}   (2)\vec{BD}\\
   例題2 \vec{a}=(2,3),\vec{b}=(-1,2)のとき,\\
(1)\vec{c}=(5,4)を m\vec{a}+n\vec{b}の形に表せ。\\
   (2)\vec{a}+t\vec{b}が\vec{c}と平行になるように,実数tの値を求めよ。 \]
成分で一次結合の係数を求めるマクロを作って,六角形のベクトルも成分表示してこれを使うことにする。
 平行条件は行列式が0になることでやってしまえと。
Geogebraでもやってみると,ベクトルは縦表記,方程式も解けるし,優秀ソフトだ。
 先の話だが例題2は斜交座標も見える。

(%i1) liin(a,b,c,d,e,f):=block(
  return(solve([m*a+n*c=e,m*b+n*d=f],[m,n]))
)$
(%i2) liin(-1,sqrt(3),-1,-sqrt(3),0,-2*sqrt(3));
\[(\%o2) [[m=-1,n=1]]\]
(%i3) liin(-1,sqrt(3),-1,-sqrt(3),-3,-sqrt(3));
\[(\%o3) [[m=1,n=2]]\]
(%i4) liin(2,3,-1,2,5,4);
\[(\%o4) [[m=2,n=-1]]\]
(%i5) solve(determinant(matrix([2,3]+t*[-1,2],[5,4]))=0,t);
\[(\%o5) [t=-\frac{1}{2}]\]

図 1:
Diagram

図 2:
Diagram

\[例題3 |\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot\vec{b}=4であるとき,|\vec{a}+2\vec{b}|の値を求めよ。\\
   例題4 |\vec{a}|=2,|\vec{b}|=1,である2つのベクトル \vec{a},\vec{b}において,\vec{a}-2\vec{b}と 2\vec{a}+5\vec{b}が垂直である。\\
   このとき,\vec{a},\vec{b}のなす角\thetaを求めよ。\]
内積は dot あるいは innerproduct のようだ。

(%i6) p:expand((a+2*b).(a+2*b));
\[\tag{p}\label{p} 2\left( b\mathit{ . }a\right) +4{{b}^{2}}+2\left( a\mathit{ . }b\right) +{{a}^{2}}\]
(%i7) sqrt(sublis([a=2,b=3],(subst(4,a.b,subst(4,b.a,p)))));
\[(\%o7) 2\sqrt{14}\]
(%i8) p:expand((a-b).(2*a+5*b))$
(%i9) solve(sublis([a=2,b=1],(subst(2*1*cos(x),a.b,subst(2*1*cos(x),b.a,p)))),x);
\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\] \[(\%o9) [x=\frac{2\ensuremath{\pi} }{3}]\]

2 ベクトルの応用

位置ベクトル:potition vector
分点:division,内分点:internal division,外分点:external division
 重心:center of gravity
方向ベクトル:direction vector,法線ベクトル:normal vector
ベクトル方程式:vectorial equation
媒介変数:parameter
中線定理:parallelogram(平行四辺形)theorem
 垂心:orthocenter
  orthodoxギリシャ語「正しい意見」の意から

\[例題1 (1)平面上に3点A(3,-2),B(7,-1),C(-1,4)がある。\\
   四角形ABCDが平行四辺形になるような点Dの座標を求めよ。\\
   (2)四角形ABCDの辺BCを3:1に内分する点をE,辺CDを1:4に外分する点をFとすると\\
   3点A,E,Fは一直線上にあることを示せ。\]
Geogebraですね。D=C+vector[B,A]とか,E=(B+3C)/4,F=(4C-D)/3とか書けばいいんです。
相似が見えてベクトルを使うまでもないですが。
Maximaなら,2つのベクトルの作る三角形の面積をマクロで作って

図 3:
Diagram
(%i10) area(a,b,c,d):=(determinant(matrix([a,b],[c,d])))$
(%i11) area(3/4,1,1,4/3);
\[(\%o11) 0\]

\[例題2 OABにおいて,辺OAを2:3に内分する点をM,辺OBを4:3に内分する点をN\\
   線分ANと線分BMの交点をPとするとき\vec{OP}を\vec{OA}=\vec{a}と\vec{OB}=\vec{b}を用いて表わせ。\]
OA を k:l,OB を m:n に内分する点をそれぞれ C,B と結んだ線分の交点のベクトルを求めるマクロを chebamene(チェバ・メネラウス)として

(%i12) chebamene(k,l,m,n):=ratsimp((n*k*a+m*l*b)/(n*k+m*l+n*l))$
(%i13) chebamene(2,3,4,3);
\[(\%o13) \frac{4b+2a}{9}\]

図 4:
Diagram

\[例題3 実数 s,tが s\ge 0,t\ge 0,s+t=\frac{1}{2}を満たしながら変化するとき,\\
   点Pの存在する範囲を求めよ。\]

図 5:
Diagram

\[2直線 2x-3y-3=0,x+5y-10=0 のなす角\thetaを求めよ。
   ただし,0^\circ\le\theta\le90^\circとする。\]
平面状の2つのベクトルのなす角を求めるマクロ

(%i14) ang(a,b,c,d):=acos(radcan([a,b].[c,d]/sqrt(a^2+b^2)/sqrt(c^2+d^2)))$
(%i15) ang(2,-3,1,5);
\[(\%o15) \frac{3\ensuremath{\pi} }{4}\]

3 空間におけるベクトル

交わる:intersect,ねじれの位置:twisted position
直交:orthgonal
座標軸:coordinate axis,原点:origin,座標平面:coordinate plane
垂線:perpendicular,垂線の足:foot of perpendicular
平行六面体:parallelpiped平行四辺形のパイプpipe ラテン語ピーピーいう」の意から
\[例題1 \vec{a}=(1,1,1),\vec{b}=(0,1,-1),\vec{c}=(0,1,0)のとき,\\
   (1) \vec{p}=(3,3,5)をl\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}の形に表せ。\\
   (2) 2つのベクトル\vec{a},\vec{b}に垂直な単位ベクトルを求めよ。\]
3次元の1次結合の係数を求めるマクロ
平面と違うのは外積があること
外積はあるんだろうか,探したが見当たらないので,自分で作ってと
単位ベクトル(unitvector)を求めるために,eigen(行列の固有値) をロードして

(%i16) liin3(a,b,c,d,e,f,g,h,i,o,p,q):=block(
  return(solve([l*a+m*d+n*g=o,l*b+m*e+n*h=p,l*c+m*f+n*i=q],[l,m,n]))
)$
(%i17) liin3(1,1,1,0,1,-1,0,1,0,3,3,5);
\[(\%o17) [[l=3,m=-2,n=2]]\]
(%i18) outprod(a,b,c,e,f,g):=[b*g-c*f,c*e-a*g,a*f-b*e]$
(%i19) load ("eigen")$
(%i20) uvect(outprod(1,1,1,0,1,-1));
\[(\%o20) [-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}]\]

\[例題2 次の4点が同一平面上にあるように,xの値を求めよ。\\
   A(2,-3,1),B(1,5,3),C(0,1,1),D(x,0,4)\]
4点が同一平面状にある条件をマクロで作って(もっといい方法がありそうだが)

(%i21) plane(a,b,c,l,m,n,o,p,q,s,t,u):=block(
   solve(determinant(matrix(([l,m,n]-[a,b,c]),([o,p,q]-[a,b,c]),([s,t,u]-[a,b,c])))=0,x)
)$
(%i22) plane(2,-3,1,1,5,3,0,1,1,x,0,4);
\[(\%o22) [x=5]\]

\[例題3 2点A(0,1,4),B(4,5,0)を通る直線 l 上の点Pにおいて,\\
   原点OとPを結ぶ直線 mと直線 lが直交するという。Pの座標を求めよ。\]

(%i23) l:(1-t)*[0,1,4]+t*[4,5,0];
\[\tag{l}\label{l} [4t,4t+1,4\left( 1-t\right) ]\]
(%i24) solve(l.([0,1,4]-[4,5,0])=0,t);
\[(\%o24) [t=\frac{1}{4}]\]
(%i25) ev(l,%);
\[(\%o25) [1,2,3]\]
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