B-1

$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} $

数列（Sequence）

1 数列

\[例題１　(1)第４項が14，第10項が62である等差数列の初項と公差を求め，一般項を求めよ。\\
(2)第2項が14，第5項が112である等比数列の初項と公比を求め，一般項を求めよ。\] \[例題２　(1)初項3，公差2の等差数列で，初項から第何項までの和が63になるかを求めよ。\\
(2)　初項から第3項までの和が9，初項から第6項までの和が-63である等比数列の初項と公比を求めよ。\] \[例題３　\sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+4)を求めよ。\]

\[例題４　数列　2,6,12,20,30,42,\cdotsの一般項を求めよ。\] \[例題５　初項から第ｎ項までの和が　S_n=n^3-nである数列の一般項を求めよ。\]

これは階差数列が等差のとき，等比のときはまた別，プログラミングしたくなる。
両方とも公式は n は2 以上。n=1 のとき，別に確認する。

2 漸化式と数学的帰納法

\[例題１　次のように定められた数列の一般項を求めよ。\\
   (1)　a_{1}=3,a_{n+1}=a_{n}+n+1　（n=1,2,3,\cdots）\\
   (2)　a_{1}=2,a_{n+1}=2a_{n}-1　（n=1,2,3,\cdots）\\
   (3) 　a_{n+1}=2-\frac{1}{a_n},a_1=2　（n=1,2,3,\cdots）\] \[例題２　1歩で登るのが１段または２段であるような登り方をする時登り方をするとき，\\
   10段の階段を登りきるには，何通りの登り方があるだろうか\] \[例題３　nを自然数とするとき，数学的帰納法を用いて，次の等式を証明せよ。\\ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\] Maxima が凄すぎて（漸化式を解く関数が作られている），Geogebra を使う気が今一つ湧かないが。
(1)は，階差数列でできる。(2)を目で見る仕掛けはよくある。
これは，ソースを置いておくか。
数字はiterationlistで計算する。

フィボナッチは，python で，

def fibo(n):
　　fib=[1,2]
　　for i in range(3,n):
　　　　fib.append(fib[i-3]+fib[i-2])
　　print(fib)

fibo(11)

[1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89]

数列（Sequence）

1 数列

\[例題１　(1)第４項が14，第10項が62である等差数列の初項と公差を求め，一般項を求めよ。\\
(2)第2項が14，第5項が112である等比数列の初項と公比を求め，一般項を求めよ。\\
例題２　(1)初項3，公差2の等差数列で，初項から第何項までの和が63になるかを求めよ。\\
(2)　初項から第3項までの和が9，初項から第6項までの和が-63である等比数列の初項と公比を求めよ。\] 微積とか数列とか Maxima のすごさを実感しますね。
　細かいマクロがあるんでしょう。functs（関数）をロードしてから。
等差数列，等比数列がそのまま入ってます。どころか，等差数列と等比数列の和まで入ってます。
　後の問題にもありますので，二つの項を入れて数列を確定するマクロ作りました．

(%i1)

load(functs)$

(%i2)

ari(i,p,j,q):=block(
l:solve([arithmetic(a,d,i)=p,arithmetic(a,d,j)=q],[a,d])[1],
a1:ev(a,l[1]),d1:ev(d,l[2]),
print("a=",a1,":d=",d1),
expand(arithmetic(a1,d1,n))
)$

(%i3)

ari(4,14,10,62);

\[\mbox{}\\a= -10 :d= 8 \] \[(\%o3)8n-18\]

(%i4)

solve(arithsum(3,2,n)=63,n);

\[(\%o4)[n=-9,n=7]\]

(%i5)

geo(i,p,j,q):=block(
l:solve([geometric(a,r,i)=p,geometric(a,r,j)=q],[a,r])[1],
a1:ev(a,l[1]),r1:ev(r,l[2]),
print("a=",a1,":r=",r1),
geometric(a1,r1,n)
)$

(%i6)

geo(2,14,5,112);

\[\mbox{}\\a= 7 :r= 2 \] \[(\%o6)7{{2}^{n-1}}\]

(%i7)

solve([geosum(a,r,3)=9,geosum(a,r,6)=-63],[a,r]);

\[(\%o7)[[a=\sqrt{3}\%{}i,r=1-\sqrt{3}\%{}i],[a=-\sqrt{3}\%{}i,r=\sqrt{3}\%{}i+1],[a=3,r=-2]]\]

\[例題３　\sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+4)を求めよ。\]
さあ， Maxima のすごいところ。数列の和を計算するには調べたところ（必死で英語の Help を読むわけだ）３種類あります。
まず，sum（これで駄目なら）最後に,simpsum とつける。
次は simplify_sum をロードして。
どうも一番協力で簡単なのが，nusum（unsum：差分をとる）の逆らしい，つまり和分。
少し実験してます。等比の和とか部分分数もＯＫ
　これ以上のマクロもあるんです。超幾何級数の計算マクロ。
　zeilberger という人が書いたパッケージがあるんですよ。そのうち紹介する機会があるかな。

(%i8)

sum(k^2-3*k+4,k,1,n);

\[(\%o8)\sum_{k=1}^{n}{\left. {{k}^{2}}-3k+4\right.}\]

(%i9)

sum(k^2-3*k+4,k,1,n),simpsum;

\[(\%o9)\frac{2{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+n}{6}-\frac{3{{n}^{2}}+3n}{2}+4n\]

(%i10)

ratsimp(%);

\[(\%o10)\frac{{{n}^{3}}-3{{n}^{2}}+8n}{3}\]

(%i11)

factor(%);

\[(\%o11)\frac{n\,\left( {{n}^{2}}-3n+8\right) }{3}\]

(%i12)

load(simplify_sum)$

(%i13)

simplify_sum(sum(k^2-3*k+4,k,1,n));

\[(\%o13)\frac{2{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}+n}{6}-\frac{3{{n}^{2}}+3n}{2}+4n\]

(%i14)

nusum(k^2-3*k+4,k,1,n);

\[(\%o14)\frac{n\,\left( {{n}^{2}}-3n+8\right) }{3}\]

(%i15)

nusum(3*n^2-3*n,n,1,n);

\[(\%o15)\left( n-1\right) n\,\left( n+1\right) \]

(%i16)

sum(k*r^(k-1),k,1,n),simpsum;

\[(\%o16)\sum_{k=1}^{n}{\left. k\,{{r}^{k-1}}\right.}\]

(%i17)

simplify_sum(%);

\[(\%o17)\frac{{{r}^{n}}\,\left( nr-n-1\right) }{{{\left( r-1\right) }^{2}}}+\frac{1}{{{\left( r-1\right) }^{2}}}\]

(%i18)

ratsimp(%);

\[(\%o18)\frac{{{r}^{n}}\,\left( nr-n-1\right) +1}{{{r}^{2}}-2r+1}\]

(%i19)

nusum(k*r^(k-1),k,1,n);

\[(\%o19)\frac{{{r}^{n}}\,\left( nr-n-1\right) }{{{\left( r-1\right) }^{2}}}+\frac{1}{{{\left( r-1\right) }^{2}}}\]

(%i20)

sum(1/k/(k+1),k,1,n);

\[(\%o20)\sum_{k=1}^{n}{\left. \frac{1}{k\,\left( k+1\right) }\right.}\]

(%i21)

simplify_sum(%);

\[(\%o21)\frac{n}{n+1}\]

(%i22)

nusum(1/k/(k+1),k,1,n);

\[(\%o22)\frac{n}{n+1}\]

\[例題４　数列　2,6,12,20,30,42,\cdotsの一般項を求めよ。\]
具体的な数列から階差数列を取り，元の数列を求めるのはリストで工夫しました。

(%i23)

kaisa(l):=rest(l,1)-rest(l,-1)$

(%i24)

kaisa([2,6,12,20,30,42]);

\[(\%o24)[4,6,8,10,12]\]

(%i25)

2+sum(arithmetic(4,2,k),k,1,n-1),simpsum;

\[(\%o25)n+2\left( n-1\right) +{{\left( n-1\right) }^{2}}+1\]

(%i26)

ratsimp(%);

\[(\%o26){{n}^{2}}+n\]

\[例題５　初項から第ｎ項までの和が　S_n=n^3-nである数列の一般項を求めよ。\]
unsumだと初項だけ別の式にならないので，和から一般項を出すマクロを作りました。

(%i27)

wakara(s):=block(
   s(n):=s,
   a(n):=expand(s(n)-subst(n-1,n,s(n))),
   if subst(1,n,a(n))=subst(1,n,s(n)) then return(factor(a(n)))
   else print("a(1)=",subst(1,n,s(n)),",n>1:a(n)=",a(n))
)$

(%i28)

wakara(n^3-n);

\[(\%o28)3\left( n-1\right) n\]

(%i29)

unsum(n^3-n,n);

\[(\%o29)3{{n}^{2}}-3n\]

(%i30)

unsum(n^2+1,n);

\[(\%o30)2n-1\]

(%i31)

wakara(n^2+1)$

\[\mbox{}\\a(1)= 2 ,n\ensuremath{\ensuremath{>}}1:a(n)= 2n-1 \]

2 漸化式と数学的帰納法

(%i32)

kill(all)$

(%i1)

load("solve_rec")$

(%i2)

solve_rec(a[n+1]=a[n]+n+1,a[n],a[1]=3);

\[(\%o2){{a}_{n}}=\frac{\left( n-1\right) \,\left( n+2\right) }{2}+3\]

(%i3)

ratsimp(%);

\[(\%o3){{a}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+n+4}{2}\]

(%i4)

solve_rec(a[n+1]=2*a[n]-1,a[n],a[1]=2);

\[(\%o4){{a}_{n}}={{2}^{n-1}}+1\]

(%i5)

solve_rec(a[n+1]=2-1/a[n],a[n],a[1]=2);

\[(\%o5){{a}_{n}}=\frac{n+1}{n}\]

(%i6)

solve_rec(a[n+2]=a[n+1]+a[n],a[n],a[1]=1,a[2]=1);

\[(\%o6){{a}_{n}}=\frac{{{\left( \sqrt{5}+1\right) }^{n}}}{\sqrt{5}\,{{2}^{n}}}-\frac{{{\left( \sqrt{5}-1\right) }^{n}}\,{{\left( -1\right) }^{n}}}{\sqrt{5}\,{{2}^{n}}}\]

(%i7)

l:rhs(%);

\[\tag{l}\label{l}\frac{{{\left( \sqrt{5}+1\right) }^{n}}}{\sqrt{5}\,{{2}^{n}}}-\frac{{{\left( \sqrt{5}-1\right) }^{n}}\,{{\left( -1\right) }^{n}}}{\sqrt{5}\,{{2}^{n}}}\]

(%i8)

l,n=10;

\[(\%o8)\frac{{{\left( \sqrt{5}+1\right) }^{10}}}{1024\sqrt{5}}-\frac{{{\left( \sqrt{5}-1\right) }^{10}}}{1024\sqrt{5}}\]

(%i9)

ratsimp(%);

\[(\%o9)55\]

(%i10)

fib(10);

\[(\%o10)55\]

(%i11)

for k:1 thru 10 do print(fib(k))$

\[1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 \]

漸化式は解くだけでなく，よくある漸化式を目で見るパッケージ（力学）も用意されている。
階段関数とでもいうのですか.

(%i12)

load(dynamics)$

(%i13)

staircase(2*x-1,2,5,[gnuplot_preamble, "set zeroaxis"]);

\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\]

図 2:

\[例題３　nを自然数とするとき，数学的帰納法を用いて，次の等式を証明せよ。\\
1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\]
帰納法はまあ，手でやる証明法だから（高校の大体のものは直接に証明できます）。

(%i14)

load(functs)$

(%i15)

nusum(2*k-1,k,1,n);

\[(\%o15){{n}^{2}}\]

数列（Sequence）

1 数列

数列：progression,sequence
　pro(前)+gress(進む)，sequ(後に来る)で面白いもんだ。
項：term　一般項：general term　項数：number of trems(?)　末項：last term
　termは限界，ターミナルとか
有限数列，無限数列：finite(infinite) progression
等差数列，公差：arithmetical progression A.P.,common difference
等比数列，公比：geometric progression G.P.,common ratio
　算術的と幾何的との違いは，農業生産の増加と人口の増加の違いだ，というのがマルサスの人口論。
複利法：compound interest 興味があるのは利子か
階差数列：progression of difference
和：sum　一番高いという意味らしい，サミット

2 漸化式と数学的帰納法

漸化式：recurrence formula　re は再び occur する
フィボナッチ数列：ボナッチの息子の意味だそうだ
数学的帰納法：mathmatical induction　ラテン語「導き入れる」の意から

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