\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

図形の性質

図形では,GC というJavaで動くソフトを重宝してましたが,
こいつが動かなくなり,しかもわけわからず激変したので,
いっそ,Geogebra を使うことにします。
例えば オイラー線
これをクリックすると,Geogebra がインストールされていて,
関連付けされていれば,実行。そうでなければ,保存して,後でゆっくり再現。

1 平面図形 plane figure

 1.1 三角形の辺の比

平行線と角の2等分線は比を移すということ。

内分:internal division
外分:external division

中点連結定理:中点は midpoint だが
中線:median line

 1.2 三角形の外心・内心・重心

外接円:circum circle
外心:circum center 外心をOと書くのはoutsideからかな

内接円:inscribed circle
内心:incenter 内心をIと書くのはこれから

傍接円:escribed circle
傍心:excenter

重心:center of gravity 重心をGと書くのはこれから,graveは墓穴の意味もある

垂心:ortho center 垂心をHと書くのは高さheightからかな,
   オーソドックスはまともな(直角で正しい)意見
   ちなみにorthographyは正射影

正三角形なら,重心,外心,内心,垂心のうち,どれか2つが一致する。
 これは逆も成り立つ。

 1.3 チェバ・メネラウスの定理

チェバ・メネラウスの定理とその逆を先にやれば,
上の内心(傍心)・重心・垂心の存在証明はこれで済む。
垂心の存在証明から各辺に平行な対頂点を通る三角形の外心の存在証明もできる。

チェバの定理:Ceva's theorem
メネラウスの定理:Menelaus' theoremど

一点で交わればチェバの定理,同一直線上ならメネラウスの定理
 これは逆も成り立つ。

 1.4 円に内接する四角形

中心角:central angle
円周角:inscribed angle,angle of circumference

同一円周上なら,円周角は等しい
 これは逆も成り立つ。
内接すれば,対角の和は180度
 これは逆も成り立つ。

問1
交わる2つの円O,O'の交点をP,Qとする。
Pを通る直線が,円O,O'と交わる点を,それぞれA,Bとし,
Qを通る直線が,円O,O'と交わる点を,それぞれC,Dとする。
このとき,AC//BDであることを証明せよ。

 1.5 円と直線

接する:contact
接線:tangent line tangentは接線の傾きだったのかなと想像する
接点:point of contact,point of tangency
弦:chord

接弦定理: Alternate Segment Theorem
 ちょっと覚えにくなあ,この英語

 1.6 方ベキの定理

方べき:power
方ベキの定理:power of a point
ちょっと格好いいなあ,この英語

問2
2点A,Bで交わる2つの円O,O'がある。
円Oの弦CDと円O'の弦EFが,線分AB上の1点で交わるとき,
4点C,D,E,Fは1つの円周上にあることを証明せよ。

 1.7 2つの円の位置関係

外接する:circumscribe
内接する:inscribe
共通接線:common tangent
共通外接線:external common tangent
共通内接線:interenal common tangent

 1.8 作図

作図が大学入試に出るかなあ?正17角形の作図とか。

2 空間図形 solid figure

 2.1 直線と平面

ねじれの位置:skew position

 2.2 多面体

多面体:polyhedron
オイラーの多面体定理:Euler's polyhedron theorem

正多面体:regular polyhedron
正四面体:regular tetrahedron
正六面体:regular hexahedron
正八面体:regular octahedron
正十二面体:regular dodecahedron
正二十面体:icosahedron

問3 
1辺の長さが2である正八面体ABCDEFを,直線AFを軸にして回転させる。
(1) この正八面体の内部が通過する部分の体積を求めよ。
(2) この正八面体の面が通過する部分の体積を求めよ。


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