\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

積分の応用

1 不定積分とその基本公式

原始関数:primitive function
不定積分:indefinite integral
被積分関数:integrand
積分定数:integration constant
積分する:integrate
 ここまでは数Ⅱでもあったかな。
置換積分法:integration by substitution
部分積分法:integration by parts
部分分数に分解する:(decomposition into) partial fraction
\[例題1 次の関数を積分せよ。\\
   (1) \int\frac{\sqrt[3]{x}+3}{x}dx (2) \int x\sqrt{2x-1}dx (3) \int 2x\sqrt{x^2+1}dx\\
   (4) \int\log x dx (5) \int\frac{x^2+3}{x+1} (6) \int\frac{x-3}{(x-1)(x-2)}dx \\
   (7) \int\sin^2 x\cos x dx (8) \int\sin^2 x dx (9) \int\sin 4x\cos 2x dx\]

図 1:
Diagram

図 2:
Diagram
--> integrate((x^(1/3)+3)/(x), x);
\[(\%o1)3\log{(x)}+3{{x}^{\frac{1}{3}}}\]
--> integrate((x*sqrt(2*x-1)),x);
\[(\%o2)\frac{{{\left( 2x-1\right) }^{\frac{5}{2}}}}{10}+\frac{{{\left( 2x-1\right) }^{\frac{3}{2}}}}{6}\]
--> factor(%);
\[(\%o3)\frac{{{\left( 2x-1\right) }^{\frac{3}{2}}}\,\left( 3x+1\right) }{15}\]
--> integrate(2*x*sqrt(x^2+1),x);
\[(\%o4)\frac{2{{\left( {{x}^{2}}+1\right) }^{\frac{3}{2}}}}{3}\]
--> integrate(log(x),x);
\[(\%o5)x\,\log{(x)}-x\]
--> integrate((x^2+3)/(x+1),x);
\[(\%o6)4\log{\left( x+1\right) }+\frac{{{x}^{2}}-2x}{2}\]
--> integrate((x-3)/(x-1)/(x-2),x);
\[(\%o7)2\log{\left( x-1\right) }-\log{\left( x-2\right) }\]
--> integrate((sin(x))^2*cos(x),x);
\[(\%o8)\frac{{{\sin{(x)}}^{3}}}{3}\]
--> integrate((sin(x))^2,x);
\[(\%o9)\frac{x-\frac{\sin{(2x)}}{2}}{2}\]
--> ratsimp(%);
\[(\%o10)-\frac{\sin{(2x)}-2x}{4}\]
--> integrate(sin(4*x)*cos(2*x),x);
\[(\%o11)-\frac{\cos{(6x)}}{12}-\frac{\cos{(2x)}}{4}\]

2 定積分

定積分:difinit integral
下端 上端 lower upper limit aからbまで積分する:from a to b
偶関数 奇関数:even odd function
区分求積法:quadrature (mensuration) by parts
 quadri ラテン系の4から四辺形,正方形に直す,つまり求積法なんだろう。
\[例題1 次の定積分をせよ。\\
   (1) \int_{-1}^{1}|e^x-1|dx (2) \int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}dx 
   (3) \int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}\\ 
   (4) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin x dx (5) \int_{1}^{e}x\log xdx\] 
絶対値のついた積分は,昔はやってくれなかったが,今は答が出る。
GeogebraではIntegralBetween[f(x),g(x),a,b]
 これはちょっと注意あが必要で,g(x)は省略しない,ないときは0。
 文字が2種類以上ではaの前に,xをつける。
 そうしないと、変な答が出たり,近似値しか出なかったりする。

図 3:
Diagram
--> integrate(abs(%e^x-%e), x, -1, 1);
\[(\%o12){{\%{}e}^{-1}}\,\left( {{\%{}e}^{2}}+1\right) \]
--> integrate(sqrt(a^2-x^2),x,0,a);
\[\mbox{}\\Is\,a\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o16)\frac{\ensuremath{\pi} {{a}^{2}}}{4}\]
--> integrate(1/(1+x^2),x,0,1);
\[(\%o17)\frac{\ensuremath{\pi} }{4}\]
--> integrate(x*sin(x),x,0,%pi/2);
\[(\%o18)1\]
--> integrate((x-1)*log(x),x,1,2);
\[(\%o19)\frac{1}{4}\]

\[例題2 F(x)=\int_{a}^{x}(x-t)\cos 3tdtのとき,F''(x)を求めよ。
   ただし,aは定数とする。\] 
\[例題3 等式 f(x)=\sin x+3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(t)\cos tdt
    を満たす関数 f(x)を求めよ。\]
定積分で表される関数(積分関数)も大丈夫
被積分関数に積分変数以外の変数がなく,積分区間が変数でなければ,
 積分は定数になるはずで,どうもこういうやつは定義が循環している気もするが,
 一次関数と決まればもう大体判った感じなんだな。
このての定数が複雑に入り込むものは,Maximaだな。

--> diff(integrate((x-t)*cos(3*t),t,a,x),x,2);
\[(\%o20)\cos{(3x)}\]
--> f(x):=sin(x)+3*k;
\[(\%o21)\operatorname{f}(x):=\sin{(x)}+3k\]
--> solve(k=integrate(f(t)*cos(t),t,0,%pi/2));
\[(\%o22)[k=-\frac{1}{4}]\]

\[例題3 \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}
   (\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{1}+\cdots+\sqrt{n}) を求めよ。\\
   例題4 関数 y=\frac{1}{x}の定積分を用いて,次の不等式を証明せよ。\\
   1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\]
整関数ならできるのだが,区分求積法で級数を定積分で計算するのはやってくれない。
これもGeogebraで目で見ながら。
 nが文字だからそのままでは,駄目なんだな。これがGeogebraの欠点。
 分数の和の方が相当大きい,もうちょっと近づけるには,1+(2からn+1までの積分とやればいい)

図 4:
Diagram
--> limit(nusum(1/n/sqrt(n)*sqrt(k),k,1,n),n,inf);
\[\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}}\mbox{ non-rational term ratio to nusum}\] \[(\%o23)\lim_{n\mbox{-\ensuremath{\ensuremath{>}}}\infty \to \mbox{-\ensuremath{\ensuremath{>}}}\infty }{\frac{\sum_{k=1}^{n}{\left. \sqrt{k}\right.}}{{{n}^{\frac{3}{2}}}}}\]
--> integrate(sqrt(x),x,0,1);
\[(\%o24)\frac{2}{3}\]

図 5:
Diagram
--> is(nusum(1/k,k,1,n)>log(n+1));
\[(\%o25)\mathit{unknown}\]
--> integrate(1/x,x,1,n+1);
\[\mbox{}\\Is\,n\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o26)\log{\left( n+1\right) }\]

3 面積・体積

円環体:torus
雄牛(toro)に近いそうだが・・
\[例題1 -\pi\le x\le\piにおいて,
   2曲線 y=\sin x,y=\cos xで囲まれた図形の面積を求めよ。\\
   例題2 曲線 x=4y-y^2と曲線 y=\sqrt{3x}で囲まれた図形の面積を求めよ。\\
   例題3 楕円 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
   で囲まれた図形の面積を求めよ。\\
例題4 0\le x\le 2\piにおいて,サイクロイド 
   x=a\(\theta-\sin \theta),y=a(1-\cos\theta)
   とx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。ただし,a>0とする。\]

図 6:
Diagram

図 7:
Diagram

図 8:
Diagram

図 9:
Diagram
--> wxplot2d([sin(x),cos(x)], [x,-%pi,%pi])$
\[(\%t27)\]  (Graphics)
--> f1:sin(x);
\[\tag{f1}\label{f1}\sin{(x)}\]
--> f2:cos(x);
\[\tag{f2}\label{f2}\cos{(x)}\]
--> solve(sin(x-pi/4)=0,x);
\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\] \[(\%o30)[x=\frac{\pi}{4}]\]
--> [x1,x2]:[-3/4*%pi,%pi/4];
\[(\%o31)[-\frac{3\ensuremath{\pi} }{4},\frac{\ensuremath{\pi} }{4}]\]
--> load(draw)$
--> draw2d(
fill_color=cyan,
filled_func=f2,
explicit(f1,x,x1,x2),
filled_func=false,
xaxis=true,
yaxis=true,
explicit(f1,x,-%pi,%pi),
explicit(f2,x,-%pi,%pi)
)$

図 10:
Diagram
--> integrate(f2-f1,x,-3*%pi/4,%pi/4);
\[(\%o34){{2}^{\frac{3}{2}}}\]
--> kill(f1,f2,x1,x2)$
--> barea(f1,f2):=block(
[x1,x2]:map('rhs,solve(f1-f2)),
if x1 > x2 then (c:x1,x1:x2,x2:c),
draw2d(
xaxis=true,
yaxis=true,
fill_color=cyan,
filled_func=f1,
explicit(f2,x,x1,x2),
filled_func=false,
explicit(f1,x,x1,x2),
explicit(f2,x,x1,x2)
),
return(abs(integrate(f1-f2,x,x1,x2)))
)$
--> barea(4*x-x^2,x^2/3);
\[(\%o37)6\]

図 11:
Diagram
--> integrate(2*b/a*sqrt(a^2-x^2),x,-a,a);
\[\mbox{}\\Is\,a\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o38)\ensuremath{\pi} ab\]
--> 4*integrate(a*b*sin(x)^2,x,0,%pi/2);
\[(\%o39)\ensuremath{\pi} ab\]
--> barea1(f1,f2,t1,t2):=block(
x1:subst(t1,t,f1),x2:subst(t2,t,f1),
if x1>x2 then (c:x1,x1:x2,x2:c),
wxplot2d([['parametric, f1,f2, [t, t1, t2], [nticks, 300]]], [x,x1,x2],
[plot_format, gnuplot]),
return(abs(integrate(f2*diff(f1,t),t,t1,t2)))
)$
--> a:1$
--> wxplot2d([['parametric, a*(t-sin(t)), a*(1-cos(t)), [t, -%pi/2, 2.5*%pi], [nticks, 300]]], [x,-1,7])$
\[(\%t42)\]  (Graphics)
--> kill(a)$
--> barea2(f1,f2,t1,t2):=block(
x1:subst(t1,t,f1),x2:subst(t2,t,f1),
if x1>x2 then (c:x1,x1:x2,x2:c),
return(abs(integrate(f2*diff(f1,t),t,t1,t2)))
)$
--> barea2(a*(t-sin(t)),a*(1-cos(t)),0,2*%pi);
\[(\%o45)3\ensuremath{\pi} {{a}^{2}}\]

\[例題5 底面の半径が3の円柱がある。\\
   底面の直径ABを含み,底面と45^\circの角をなす平面で円柱を切り取った。\\
   この切り取られた立体の体積を求めよ。\]
3次元の図はGeogebraのほうが楽ちん。

--> draw3d(
   implicit(x^2+y^2=9,x,-1,3,y,-3,3,z,0,6),
   explicit(-y,x,-1,3,y,-3,0),
   surface_hide = true,
   color=blue,
   implicit(x=-1,x,-3,3,y,-3,0,z,0,3)
)$

図 12:
Diagram
--> integrate((sqrt(3^2-x^2))^2/2,x,-3,3);
\[(\%o72)18\]

図 13:
Diagram

\[例題6 半径rの球の体積を,積分を用いて求めよ。\\
   例題7 0<r<bのとき,円 x^2+(y-b)^2=r^2を\\
   x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。\]
x 軸の周りに回転してできる立体の体積,円が回転して球
トーラスはパップスギュルダンの定理を使うと,πr2*2πb でいいわけだけど
Geogebraは後の例題も合わせて計算のみ,3次元の図はまた研究するとして。

図 14:
Diagram
--> xrot(f,a,b):=block(
return(%pi*integrate(f^2,x,a,b))
)$
--> 2*xrot(sqrt(r^2-x^2),0,r);
\[(\%o50)\frac{4\ensuremath{\pi} {{r}^{3}}}{3}\]
--> b:2$r:1$
--> draw3d(
color=blue,
surface_hide = true,
parametric_surface(r*sin(s),(r*cos(s)+b)*sin(t),(r*cos(s)+b)*cos(t),
s, 0, 2*%pi, t, 0, 2*%pi)
)$

図 15:
Diagram
--> kill(b,r)$
--> 2*%pi*integrate((sqrt(r^2-x^2)+b)^2-(-sqrt(r^2-x^2)+b)^2,x,0,r);
\[\mbox{}\\Is\,r\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o55)2{{\ensuremath{\pi} }^{2}}b\,{{r}^{2}}\]

\[例題8 a>0のとき,曲線 y=\frac{x^2}{2}と直線 y=aで囲まれた図形\\
   をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。\]
y 軸の周りに回転してできる立体の体積はいわゆるバームクーヘンの公式も使えるはずだと。
\[例題9 曲線 y=1-\sqrt{x}とx軸,y軸で囲まれた図形を,\\
   それぞれx軸,y軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。\]
最後に同じ図形を,x 軸の周りに回転したものと y 軸の周りに回転したものを,
y 軸に関しては2通りで図もかいてみよう。

--> zRevolution(f):=block(
   draw3d(
   title = "z=f(x) Revolution",
   color=blue,
   surface_hide = true,
   parametric_surface(x*cos(s),x*sin(s),
   f,s,0,2*%pi,x,0,1)
   )
)$
--> zRevolution(x^2/2);
\[(\%o57)[\operatorname{gr3d}\left( \mathit{parametric\_ surface}\right) ]\]

図 16:
Diagram
--> yrot(g,a,b):=block(
return(%pi*integrate(g^2,y,a,b))
)$
--> yrot(sqrt(2*y),0,a);
\[(\%o59)\ensuremath{\pi} {{a}^{2}}\]
--> integrate(2*%pi*x*x^2/2,x,0,sqrt(2*a));
\[(\%o60)\ensuremath{\pi} {{a}^{2}}\]
--> a:k^2;
\[\tag{a}\label{a}{{k}^{2}}\]
--> integrate(2*%pi*x*x^2/2,x,0,sqrt(2*a));
\[(\%o62)\ensuremath{\pi} {{k}^{4}}\]
--> kill(a)$
--> wxplot2d(1-sqrt(x),[x,0,1])$
\[(\%t64)\]  (Graphics)
--> zRevolution(1-sqrt(x));
\[(\%o65)[\operatorname{gr3d}\left( \mathit{parametric\_ surface}\right) ]\]
--> xRevolution(f):=block(
   draw3d(
   title = "x=f(y) Revolution",
   color=blue,
   surface_hide = true,
   parametric_surface(f,y*sin(s),y*cos(s),s,0,2*%pi,y,0,1)
   )
)$

図 17:
Diagram
--> xRevolution((1-y)^2);
\[(\%o67)[\operatorname{gr3d}\left( \mathit{parametric\_ surface}\right) ]\]

図 18:
Diagram
--> xyrot(f,a,b):=block(
return(2*%pi*integrate(f*x,x,a,b))
)$
--> xrot(1-sqrt(x),0,1);
\[(\%o69)\frac{\ensuremath{\pi} }{6}\]
--> yrot((1-y)^2,0,1);
\[(\%o70)\frac{\ensuremath{\pi} }{5}\]
--> xyrot(1-sqrt(x),0,1);
\[(\%o71)\frac{\ensuremath{\pi} }{5}\]

あー,終わった。Geogebraが使いやすくなってる。
 CASでMaximaのようなものもある程度いける。


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