\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

微分の応用

1 接線,関数の増減

法線:normal
平均値の定理:mean value theorem
極値,極大,極大値,極小,極小値:extremal vallue,(local)maximum,max,(local)minimal,minimum
変曲点,下に凸,上に凸:inflection point,downwards (upwards) convex
\[例題1 極線 y=\log xについて,次の接線の方程式を求めよ\\
   (1) 傾きが eの接線 (2) 原点から引いた接線\\
   例題2 楕円 \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1上の点 (-2,1)における接線の方程式を求めよ。\]
整関数のときに作ったマクロを使って,log(0)のエラーを修正したもの。
陰関数の微分と接線の方程式マクロ。
Geogebraは計算しながら,目で見えて,eとかを小数に直さなければ素晴らしいのだが。

(%i1) tangentLine(a,b,f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f,x),
if b=subst(a,x,f(x)) then print("y=",expand(subst(a,x,g(x))*(x-a)+b))
else block(h(p):=subst(p,x,g(x))*(x-p)+subst(p,x,f(x)),
l:solve(subst(p,x,g(x))*(a-p)+subst(p,x,f(x))=b,p),
for i:1 thru length(l) do print("y=",expand(ev(h(p),l[i])))
))
$
(%i2) solve(diff(log(x),x)=%e,x);
\[(\%o2) [x={{\%{}e}^{-1}}]\]
(%i3) tangentLine(%e^(-1),-1,log(x))$
\[\mbox{}\\y= \%{}ex-2 \]
(%i4) tangentLine1(a,b,f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f,x),
h(p):=subst(p,x,g(x))*(x-p)+subst(p,x,f(x)),
l:solve(subst(p,x,g(x))*(a-p)+subst(p,x,f(x))=b,p),
for i:1 thru length(l) do print("y=",expand(ev(h(p),l[i])))
)
$
(%i5) tangentLine1(0,0,log(x))$
\[\mbox{}\\y= {{\%{}e}^{-1}}x \]
(%i6) wxplot2d([log(x),%e*x-2,x/%e], [x,-1,4],[y,-2,2])$
\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t6) \]  (Graphics)

図 1:
Diagram
(%i7) inpli(a,b,f):=block(
m:ev(del(y)/del(x),solve(diff(f),del(y))/del(x)),
m:subst(b,y,subst(a,x,m)),
print("y=",expand(m*(x-a)+b))
)$
(%i8) inpli(-2,1,x^2/8+y^2/2=1)$
\[\mbox{}\\y= \frac{x}{2}+2 \]

図 2:
Diagram

例題3 a>0のとき,不等式 a<e^a-1<ae^aを平均値の定理を用いて証明せよ。\]
平均値の定理マクロ。
図はすべてGeogebraにしようかな。
ABを通る直線の傾きは,A,Bにおける接線の傾きの間。

(%i9) meanv(a,b,f):=block(
f(x):=f,
print((b-a)*subst(a,x,diff(f(x),x)),"<",subst(b,x,f(x))-subst(a,x,f(x)),
"<",(b-a)*subst(b,x,diff(f(x),x)))
)$
(%i10) meanv(0,a,%e^x)$
\[a \ensuremath{\ensuremath{<}} {{\%{}e}^{a}}-1 \ensuremath{\ensuremath{<}} a\,{{\%{}e}^{a}} \]
(%i11) wxplot2d([%e^x,(%e-1)*x+1], [x,-1/2,3/2])$
\[(\%t11) \]  (Graphics)

図 3:
Diagram

例題4 次の関数を調べよ。\\
(1) x^4-4x^2 (2) \sin x(1+\cos x)(0\le x \le 2\pi)\\
(3) |x-3|\sqrt{x} (4) e^{-x^2} (5) \frac{x^2}{x-2}\]
前に作った,極大・極小を求めるマクロ。
三角関数版では解のいくつかは,ロストしている恐れがあるので,図で確認。
Geogebraは微分しながら,グラフも見れる。f(x)だけ変えればOK。
|x|は原点において,微分可能ではないが,それ以外では x/|x| 

(%i12) maxmin(f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f(x),x),
h(x):=diff(g(x),x),
l:solve(g(x)=0,x),
for i:1 thru length(l) do block(
if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))<0 then s:"Local Max"
else if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))>0 then s:"Local Min"
else s:"inflection point",
print(s,"x=",ev(x,l[i]),"y=",subst(ev(x,l[i]),x,f(x)))
)
)$
(%i13) maxmin(x^4-4*x^2)$
\[\mbox{}\\Local\,Min \, x= -\sqrt{2}, y= -4 \mbox{}\\Local\,Min \,x= \sqrt{2}, y= -4 \mbox{}\\Local\,Max\, x= 0, y= 0 \]
(%i14) wxplot2d([x^4-4*x^2], [x,-3,3])$
\[(\%t14) \]  (Graphics)

図 4:
Diagram
(%i15) trigmaxmin(f):=block(
f(x):=f,
g(x):=trigsimp(diff(f(x),x)),
h(x):=diff(g(x),x),
l:solve(g(x)=0,x),
for i:1 thru length(l) do block(
if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))<0 then s:"Local Max"
else if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))>0 then s:"Local Min"
else s:"inflection point",
print(s,"x=",ev(x,l[i]),"y=",subst(ev(x,l[i]),x,f(x)))
)
)$
(%i16) trigmaxmin(sin(x)*(1+cos(x)))$
\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\mbox{}\\Local\,Max\, x= \frac{\ensuremath{\pi} }{3}, y= \frac{{{3}^{\frac{3}{2}}}}{4} \mbox{}\\inflection\,point\, x= \ensuremath{\pi}, y= 0 \]
(%i17) wxplot2d([sin(x)*(1+cos(x))], [x,-3,3])$
\[(\%t17) \]  (Graphics)

図 5:
Diagram
(%i18) f(x):=abs(x-3)*sqrt(x);
\[(\%o18) \operatorname{f}(x):=\left| x-3\right| \,\sqrt{x}\]
(%i19) diff(f(x),x);
\[(\%o19) \frac{\left( x-3\right) \,\sqrt{x}}{\left| x-3\right| }+\frac{\left| x-3\right| }{2\sqrt{x}}\]
(%i20) ratsimp(%);
\[(\%o20) \frac{2{{x}^{2}}-6x+{{\left( x-3\right) }^{2}}}{2\left| x-3\right| \,\sqrt{x}}\]
(%i21) factor(%);
\[(\%o21) \frac{3\left( x-3\right) \,\left( x-1\right) }{2\left| x-3\right| \,\sqrt{x}}\]

図 6:
Diagram
(%i22) maxmin(%e^(-x^2))$
\[\mbox{}\\Local\,Max\, x= 0, y= 1 \]
(%i23) maxmin1(f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f(x),x,2),
h(x):=diff(g(x),x),
l:solve(g(x)=0,x),
for i:1 thru length(l) do block(
if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))<0 then s:"down-upwordconvex"
else if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))>0 then s:"up-downwordconvex"
else s:"inflection point",
print(s,"x=",ev(x,l[i]),"y=",subst(ev(x,l[i]),x,f(x)))
)
)$
(%i24) maxmin1(%e^(-x^2))$
\[\mbox{}\\down-upwordconvex \,x= -\frac{1}{\sqrt{2}}, y= \frac{1}{\sqrt{\%{}e}} \mbox{}\\up-downwordconvex \,x= \frac{1}{\sqrt{2}}, y= \frac{1}{\sqrt{\%{}e}} \]

図 7:
Diagram
(%i25) partfrac(x^2/(x-2),x);
\[(\%o25) x+\frac{4}{x-2}+2\]
(%i26) maxmin(x^2/(x-2))$
\[\mbox{}\\Local\,Max\, x= 0 ,y= 0 \mbox{}\\Local\,Min\, x= 4, y= 8 \]
(%i27) wxplot2d([x^2/(x-2),x+2], [x,-5,10],[y,-10,20])$
\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t27) \]  (Graphics)

図 8: C
Diagram

2 いろいろな微分の応用

媒介変数表示,媒介変数:parameter,parametric representation
サイクロイド:cycloid
速度,速さ,加速度:velocity,acceleration
等速円運動:uniform(constant velocity) circular motion
近似式:approximate value
例題1 関数 y=x+\sqrt{1-x^2}の最大値と最小値を求めよ。\]
 無理方程式はGeogebraのほうが優れている。

(%i28) wxplot2d([x+sqrt(1-x^2)], [x,-1,1])$
\[(\%t28) \]  (Graphics)
(%i29) f(x):=x+sqrt(1-x^2);
\[(\%o29) \operatorname{f}(x):=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\]
(%i30) g(x):=diff(f(x),x);
\[(\%o30) \operatorname{g}(x):=\frac{d}{dx}\operatorname{f}(x)\]
(%i31) g(x);
\[(\%o31) 1-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\]
(%i32) ratsimp(g(x));
\[(\%o32) \frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\]
(%i33) solve((sqrt(1-x^2))^2=x^2,x);
\[(\%o33) [x=-\frac{1}{\sqrt{2}},x=\frac{1}{\sqrt{2}}]\]

図 9:
Diagram

例題2 x>0のとき,e^x>1+x を証明せよ。
 これはテイラー(マクローリン)展開そのもの。
Geogebraでは,TaylorPolinomial[f,値,次数]

(%i34) taylor(%e^x,x,0,2);
\[(\%o34)/T) 1+x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\mbox{...}\]
(%i35) wxplot2d([%e^x,1+x], [x,-3,3])$
\[(\%t35) \]  (Graphics)
(%i36) wxplot2d([%e^x-x-1], [x,-3,3])$
\[(\%t36) \]  (Graphics)
(%i37) maxmin(%e^x-x-1)$
\[\mbox{}\\Local\,Min\, x= 0, y= 0 \]

図 10:
Diagram

\[例題2 aを定数とするとき,xについての方程式 e^x=axの異なる実数解の個数を調べよ。\]
ここからは例の定数分離法。アニメも作れるが,もう二回もやったので飽きた。

(%i38) wxplot2d([%e^x/x], [x,-2,2],[y,-5,5])$
\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t38) \]  (Graphics)
(%i39) maxmin(%e^x/x)$
\[\mbox{}\\Local\,Min\, x= 1 ,y= \%{}e \]

図 11:
Diagram

図 12:
Diagram

\[例題4 毎秒3cm^2の割合で面積が増加している円がある。\\
この円の半径が6cmになった瞬間における半径の変化率を求めよ。\]
半径の関数を時間で微分する。

(%i40) S(t):=%pi*r(t)^2$
(%i41) rr(t):=diff(r(t),t);
\[(\%o41) \operatorname{rr}(t):=\frac{d}{dt}\operatorname{r}(t)\]
(%i42) diff(S(t),t);
\[(\%o42) 2\ensuremath{\pi} \operatorname{r}(t)\,\left( \frac{d}{dt}\operatorname{r}(t)\right) \]
(%i43) solve(%=3,rr(t));
\[(\%o43) [\frac{d}{dt}\operatorname{r}(t)=\frac{3}{2\ensuremath{\pi} \operatorname{r}(t)}]\]
(%i44) subst(6,r(t),%);
\[(\%o44) [0=\frac{1}{4\ensuremath{\pi} }]\]
Created with wxMaxima. inserted by FC2 system