3-5

$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} $

微分の応用

1 接線，関数の増減

\[例題１　極線　y=\log xについて，次の接線の方程式を求めよ\\
(1)　傾きが　eの接線　(2)　原点から引いた接線\] \[例題２　楕円　\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1上の点　(-2,1)における接線の方程式を求めよ。\] Geogebraは計算しながら，目で見えて素晴らしい。
どんな2次曲線でも計算します。

\[例題３　a>0のとき，不等式　a<e^a-1<ae^aを平均値の定理を用いて証明せよ。\] 図はすべてGeogebraにしようかな。
ABを通る直線の傾きは，A,Bにおける接線の傾きの間。

\[例題４　次の関数を調べよ。\\
(1) x^4-4x^2　(2)　\sin x(1+\cos x)(0\le x \le 2\pi)\\
(3)　|x-3|\sqrt{x}　(4)　e^{-x^2}　(5)　\frac{x^2}{x-2}\] Geogebraは微分しながら，グラフも見れる。f(x)だけ変えればOK。
極値はツールバーにもある。

三角関数は，trigsimplify(簡単にする),trigcombine(結合する)，軸のプロパティで弧度法に変えたりしている。

|x|は原点において，微分可能ではない。変曲点は定義域外に計算してる。

漸近線はAsymptote()

2 いろいろな微分の応用

\[例題１　関数　y=x+\sqrt{1-x^2}の最大値と最小値を求めよ。\] 無理方程式はGeogebraのほうが優れている。

ツールバーに関数分析があるが，残念ながら分数表示ではない。 \[例題２　x>0のとき，e^x>1+x を証明せよ。\\ 　\\ 「証明せよ」なので，e^x-(x+1)の増減を調べるのだが，\] これはテイラー（マクローリン）展開そのもの。
Geogebraでは，TaylorPolinomial[f,値,次数]

\[例題２　aを定数とするとき，xについての方程式　e^x=axの異なる実数解の個数を調べよ。\] ここからは例の定数分離法。アニメも作れるが，もう2回もやったので飽きた。
\[定数分離法には段階あり，上は y=e^x と y=ax 原点を通る接線を求める。\\ 下は y=\frac{e^x}{x} と y=a \frac{e^x}{x} の増減を調べるのみ。\]

\[例題４　毎秒3cm^2の割合で面積が増加している円がある。\\
この円の半径が6cmになった瞬間における半径の変化率を求めよ。\] 半径の関数を時間で微分する。

微分の応用

1 接線，関数の増減

\[例題１　極線　y=\log xについて，次の接線の方程式を求めよ\\
(1)　傾きが　eの接線　(2)　原点から引いた接線\] \[例題２　楕円　\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1上の点　(-2,1)における接線の方程式を求めよ。\] 整関数のときに作ったマクロを使って，log(0)のエラーを修正したもの。
陰関数の微分と接線の方程式マクロ。

(%i1)

tangentLine(a,b,f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f,x),
if b=subst(a,x,f(x)) then print("y=",expand(subst(a,x,g(x))*(x-a)+b))
else block(h(p):=subst(p,x,g(x))*(x-p)+subst(p,x,f(x)),
l:solve(subst(p,x,g(x))*(a-p)+subst(p,x,f(x))=b,p),
for i:1 thru length(l) do print("y=",expand(ev(h(p),l[i])))
))
$

(%i2)

solve(diff(log(x),x)=%e,x);

\[(\%o2) [x={{\%{}e}^{-1}}]\]

(%i3)

tangentLine(%e^(-1),-1,log(x))$

\[\mbox{}\\y= \%{}ex-2 \]

(%i4)

tangentLine1(a,b,f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f,x),
h(p):=subst(p,x,g(x))*(x-p)+subst(p,x,f(x)),
l:solve(subst(p,x,g(x))*(a-p)+subst(p,x,f(x))=b,p),
for i:1 thru length(l) do print("y=",expand(ev(h(p),l[i])))
)
$

(%i5)

tangentLine1(0,0,log(x))$

\[\mbox{}\\y= {{\%{}e}^{-1}}x \]

(%i6)

wxplot2d([log(x),%e*x-2,x/%e], [x,-1,4],[y,-2,2])$

\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t6) \] (Graphics)

(%i7)

inpli(a,b,f):=block(
m:ev(del(y)/del(x),solve(diff(f),del(y))/del(x)),
m:subst(b,y,subst(a,x,m)),
print("y=",expand(m*(x-a)+b))
)$

(%i8)

inpli(-2,1,x^2/8+y^2/2=1)$

\[\mbox{}\\y= \frac{x}{2}+2 \] \[例題３　a>0のとき，不等式　a<e^a-1<ae^aを平均値の定理を用いて証明せよ。\] 平均値の定理マクロ。

(%i9)

meanv(a,b,f):=block(
f(x):=f,
print((b-a)*subst(a,x,diff(f(x),x)),"<",subst(b,x,f(x))-subst(a,x,f(x)),
"<",(b-a)*subst(b,x,diff(f(x),x)))
)$

(%i10)

meanv(0,a,%e^x)$

\[a \ensuremath{\ensuremath{<}} {{\%{}e}^{a}}-1 \ensuremath{\ensuremath{<}} a\,{{\%{}e}^{a}} \]

(%i11)

wxplot2d([%e^x,(%e-1)*x+1], [x,-1/2,3/2])$

\[(\%t11) \] (Graphics)

\[例題４　次の関数を調べよ。\\
(1) x^4-4x^2　(2)　\sin x(1+\cos x)(0\le x \le 2\pi)\\
(3)　|x-3|\sqrt{x}　(4)　e^{-x^2}　(5)　\frac{x^2}{x-2}\] 前に作った，極大・極小を求めるマクロ。
三角関数版では解のいくつかは，ロストしている恐れがあるので，図で確認。

(%i12)

maxmin(f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f(x),x),
h(x):=diff(g(x),x),
l:solve(g(x)=0,x),
for i:1 thru length(l) do block(
if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))<0 then s:"Local Max"
else if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))>0 then s:"Local Min"
else s:"inflection point",
print(s,"x=",ev(x,l[i]),"y=",subst(ev(x,l[i]),x,f(x)))
)
)$

(%i13)

maxmin(x^4-4*x^2)$

\[\mbox{}\\Local\,Min \, x= -\sqrt{2}, y= -4 \mbox{}\\Local\,Min \,x= \sqrt{2}, y= -4 \mbox{}\\Local\,Max\, x= 0, y= 0 \]

(%i14)

wxplot2d([x^4-4*x^2], [x,-3,3])$

\[(\%t14) \] (Graphics)

(%i15)

trigmaxmin(f):=block(
f(x):=f,
g(x):=trigsimp(diff(f(x),x)),
h(x):=diff(g(x),x),
l:solve(g(x)=0,x),
for i:1 thru length(l) do block(
if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))<0 then s:"Local Max"
else if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))>0 then s:"Local Min"
else s:"inflection point",
print(s,"x=",ev(x,l[i]),"y=",subst(ev(x,l[i]),x,f(x)))
)
)$

(%i16)

trigmaxmin(sin(x)*(1+cos(x)))$

\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\mbox{}\\Local\,Max\, x= \frac{\ensuremath{\pi} }{3}, y= \frac{{{3}^{\frac{3}{2}}}}{4} \mbox{}\\inflection\,point\, x= \ensuremath{\pi}, y= 0 \]

(%i17)

wxplot2d([sin(x)*(1+cos(x))], [x,-3,3])$

\[(\%t17) \] (Graphics)

(%i18)

f(x):=abs(x-3)*sqrt(x);

\[(\%o18) \operatorname{f}(x):=\left| x-3\right| \,\sqrt{x}\]

(%i19)

diff(f(x),x);

\[(\%o19) \frac{\left( x-3\right) \,\sqrt{x}}{\left| x-3\right| }+\frac{\left| x-3\right| }{2\sqrt{x}}\]

(%i20)

ratsimp(%);

\[(\%o20) \frac{2{{x}^{2}}-6x+{{\left( x-3\right) }^{2}}}{2\left| x-3\right| \,\sqrt{x}}\]

(%i21)

factor(%);

\[(\%o21) \frac{3\left( x-3\right) \,\left( x-1\right) }{2\left| x-3\right| \,\sqrt{x}}\]

(%i22)

maxmin(%e^(-x^2))$

\[\mbox{}\\Local\,Max\, x= 0, y= 1 \]

(%i23)

maxmin1(f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f(x),x,2),
h(x):=diff(g(x),x),
l:solve(g(x)=0,x),
for i:1 thru length(l) do block(
if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))<0 then s:"down-upwordconvex"
else if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))>0 then s:"up-downwordconvex"
else s:"inflection point",
print(s,"x=",ev(x,l[i]),"y=",subst(ev(x,l[i]),x,f(x)))
)
)$

(%i24)

maxmin1(%e^(-x^2))$

\[\mbox{}\\down-upwordconvex \,x= -\frac{1}{\sqrt{2}}, y= \frac{1}{\sqrt{\%{}e}} \mbox{}\\up-downwordconvex \,x= \frac{1}{\sqrt{2}}, y= \frac{1}{\sqrt{\%{}e}} \]

(%i25)

partfrac(x^2/(x-2),x);

\[(\%o25) x+\frac{4}{x-2}+2\]

(%i26)

maxmin(x^2/(x-2))$

\[\mbox{}\\Local\,Max\, x= 0 ,y= 0 \mbox{}\\Local\,Min\, x= 4, y= 8 \]

(%i27)

wxplot2d([x^2/(x-2),x+2], [x,-5,10],[y,-10,20])$

\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t27) \] (Graphics)

2 いろいろな微分の応用

例題１　関数　y=x+\sqrt{1-x^2}の最大値と最小値を求めよ。\]

(%i28)

wxplot2d([x+sqrt(1-x^2)], [x,-1,1])$

\[(\%t28) \] (Graphics)

(%i29)

f(x):=x+sqrt(1-x^2);

\[(\%o29) \operatorname{f}(x):=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\]

(%i30)

g(x):=diff(f(x),x);

\[(\%o30) \operatorname{g}(x):=\frac{d}{dx}\operatorname{f}(x)\]

(%i31)

g(x);

\[(\%o31) 1-\frac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\]

(%i32)

ratsimp(g(x));

\[(\%o32) \frac{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\]

(%i33)

solve((sqrt(1-x^2))^2=x^2,x);

\[(\%o33) [x=-\frac{1}{\sqrt{2}},x=\frac{1}{\sqrt{2}}]\] \[例題２　x>0のとき，e^x>1+x を証明せよ。\] これはテイラー（マクローリン）展開そのもの。

(%i34)

taylor(%e^x,x,0,2);

\[(\%o34)/T) 1+x+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\mbox{...}\]

(%i35)

wxplot2d([%e^x,1+x], [x,-3,3])$

\[(\%t35) \] (Graphics)

(%i36)

wxplot2d([%e^x-x-1], [x,-3,3])$

\[(\%t36) \] (Graphics)

(%i37)

maxmin(%e^x-x-1)$

\[\mbox{}\\Local\,Min\, x= 0, y= 0 \] \[例題２　aを定数とするとき，xについての方程式　e^x=axの異なる実数解の個数を調べよ。\] ここからは例の定数分離法。アニメも作れるが，もう二回もやったので飽きた。

(%i38)

wxplot2d([%e^x/x], [x,-2,2],[y,-5,5])$

\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t38) \] (Graphics)

(%i39)

maxmin(%e^x/x)$

\[\mbox{}\\Local\,Min\, x= 1 ,y= \%{}e \] \[例題４　毎秒3cm^2の割合で面積が増加している円がある。\\
この円の半径が6cmになった瞬間における半径の変化率を求めよ。\] 半径の関数を時間で微分する。

(%i40)

S(t):=%pi*r(t)^2$

(%i41)

rr(t):=diff(r(t),t);

\[(\%o41) \operatorname{rr}(t):=\frac{d}{dt}\operatorname{r}(t)\]

(%i42)

diff(S(t),t);

\[(\%o42) 2\ensuremath{\pi} \operatorname{r}(t)\,\left( \frac{d}{dt}\operatorname{r}(t)\right) \]

(%i43)

solve(%=3,rr(t));

\[(\%o43) [\frac{d}{dt}\operatorname{r}(t)=\frac{3}{2\ensuremath{\pi} \operatorname{r}(t)}]\]

(%i44)

subst(6,r(t),%);

\[(\%o44) [0=\frac{1}{4\ensuremath{\pi} }]\]

微分の応用

1 接線，関数の増減

法線：normal
平均値の定理：mean value theorem
極値，極大，極大値，極小，極小値：extremal vallue,(local)maximum,max,(local)minimal,minimum
変曲点，下に凸，上に凸：inflection point,downwards (upwards) convex

2 いろいろな微分の応用

媒介変数表示，媒介変数：parameter,parametric representation
サイクロイド：cycloid
速度，速さ，加速度：velocity,acceleration
等速円運動：uniform(constant velocity) circular motion
近似式：approximate value

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