\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

微分

1 微分法

differ(ラテン語「ずれて運ぶ」の意から)と,derive(ラテン語「川(river)から水を引き出す」の意から)の語源が2種類ある。
Maxima も diff と del(デルタからかな) がある。
微分係数:differential coefficient,derivative
微分可能:differentiable,derivable
導関数:derivative,derived function
微分する:differenciate
Maximaでは,積の微分,商の微分,合成関数の微分の公式も見れます。
\[例題1 次の関数を微分せよ。
   (1) y=\sqrt{x}(定義に従って) (2) y=(x^2-5*x+2)^4\]

図 1:
Diagram
(%i1) limit((sqrt(x+h)-sqrt(x))/h,h,0);
\[(\%o1)\frac{1}{2\sqrt{x}}\]
(%i2) diff((x^2-5*x+2)^4,x);
\[(\%o2)4\left( 2x-5\right) \,{{\left( {{x}^{2}}-5x+2\right) }^{3}}\]
(%i3) diff((x^2-5*x+2)^4);
\[(\%o3)4\left( 2x-5\right) \,{{\left( {{x}^{2}}-5x+2\right) }^{3}}\,\operatorname{del}(x)\]
(%i4) diff(f*g);
\[(\%o4)f\,\operatorname{del}(g)+g\,\operatorname{del}(f)\]
(%i5) diff(f/g),ratsimp;
\[(\%o5)-\frac{f\,\operatorname{del}(g)-g\,\operatorname{del}(f)}{{{g}^{2}}}\]
(%i6) diff(f(g));
\[(\%o6)\left( \frac{d}{dg}\operatorname{f}(g)\right) \,\operatorname{del}(g)\]

2 いろいろな関数の導関数

積を和・差になおす公式:積和(変換)公式, 和・差を積になおす公式:和積(変換)公式とはいうけれど
 Product Sum and Sum Product Formulas in TrigonometryなんてのがGooにあった
自然対数:natural logarithm
対数微分法:logarithmic differentiation
高次導関数 higher order differential,第2次導関数 quadratic differential
 第n次導関数 n-th differential(n-th order)
\[例題1 次の関数を微分せよ。\\
   (1) y=\sin^3 2x (2) y=e^{x^2} (3) y=xe^{-x}\\
   例題2 y=e^x\cos xのとき,y''-2y'+2y=0を示せ。\]

(%i7) diff((sin(2*x))^3,x);
\[(\%o7)6\cos{(2x)}\,{{\sin{(2x)}}^{2}}\]
(%i8) diff(%e^(x^2),x);
\[(\%o8)2x\,{{\%{}e}^{{{x}^{2}}}}\]
(%i9) diff(x*%e^(-x),x);
\[(\%o9){{\%{}e}^{-x}}-x\,{{\%{}e}^{-x}}\]
(%i10) f(x):=%e^x*cos(x);
\[(\%o10)\operatorname{f}(x):={{\%{}e}^{x}}\,\cos{(x)}\]
(%i11) diff(f(x),x,2)-2*diff(f(x),x,1)+2*f(x);
\[(\%o11)-2\left( {{\%{}e}^{x}}\,\cos{(x)}-{{\%{}e}^{x}}\,\sin{(x)}\right) -2{{\%{}e}^{x}}\,\sin{(x)}+2{{\%{}e}^{x}}\,\cos{(x)}\]
(%i12) ratsimp(%);
\[(\%o12)0\]
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