\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

関数と極限

1 関数

分数関数:fractional function 直角双曲線:rectangular hyperbola
 rectangle rect(right)正しい+angle角
無理関数:irrational function
逆関数:inverse function 合成関数:composed function
\[例題1 グラフを利用して,次の不等式を解け。\\
   (1) \frac{4x+3}{2x+3}>x (2) \sqrt{2x+8}>x\]
分子の次数を分母の次数より低くする(真分数)変形はpartfrac(f,x)
clip は「挟み込む」と「切る」の両方の意味があって,y の値が大きすぎる x は刈り込んだということか。
分数方程式・不等式はMaximaで解けるが,無理方程式・不等式はすぐには無理のようだ。
 青いグラフが上にある範囲は,グラフから-4<=x<4
ここでもGeogebraのCASは強力。

図 1:
Diagram
(%i1) partfrac((4*x+3)/(2*x+3),x);
\[(\%o1)2-\frac{3}{2x+3}\]
(%i2) wxplot2d([(4*x+3)/(2*x+3),x], [x,-5,5], [y,-5,5])$
\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t2)\]  (Graphics)
(%i3) solve((4*x+3)/(2*x+3)=x);
\[(\%o3)[x=\frac{3}{2},x=-1]\]
(%i4) load(fourier_elim)$
(%i5) ineq(f):=fourier_elim([f],[x])$
(%i6) ineq((4*x+3)/(2*x+3)>x);
\[(\%o6)[-1<x,x<\frac{3}{2}]\mathit{ or }[x<-\frac{3}{2}]\]
(%i7) wxplot2d([sqrt(2*x+8),x], [x,-5,5])$
\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.}\] \[(\%t7)\]  (Graphics)
(%i8) solve(sqrt(2*x+8)=x);
\[(\%o8)[x=\sqrt{2x+8}]\]
(%i9) solve(sqrt(2*x+8)^2=x^2);
\[(\%o9)[x=-2,x=4]\]
(%i10) ineq(sqrt(2*x+8)>x);
\[(\%o10)[\sqrt{2}\,\sqrt{x+4}-x>0]\]

2 数列の極限

無限数列:infinite sequence
第n項:n-th term 一般項:general(ある種類(全体)の) term
収束:converge,極限値:limit
発散:diverge 正の負の無限大:positive(negative)infinity
振動:oscillate(ラテン語「揺れる」の意から)
はさみうちの原理:さあ英語ではなんと言うかを調べたら,面白いことがWikiに載っていた。以下Wikiから
 英語では定理 (theorem) の名を冠される場合が多く、squeeze(押しつぶす) theorem, pinching(挟む) theorem,
  sandwich theorem などと呼ばれる。
 イタリアやロシアでは、「二人の警察官の定理」として知られ、次のようなたとえ話と共に紹介される。
 囚人が二人の警察官に挟まれているとすれば、二人の警察官が部屋に入るときには、囚人も必然的にその部屋に入ることになる。
無限等比数列:infinite geometric sequence
無限級数:infinite series
部分和:partial sum 和:sum
無限等比級数:infinite geometric series
循環小数:recurring decimal
\[例題1 次の極限を調べ,極限値があれば求めよ。\\
(1) \lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{n+1} (2) \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2-n-3}  (3) \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)\\
(4) \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin n\theta (5) \lim_{n\to\infty}\frac{4^n-5^n}{3^n+5^n} (6) \lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}}{1+r^n}(r\ne -1)\\
(7) a_1=3,a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+3のとき,\lim_{n\to\infty}a_{n}\]
数列の場合は,極限があるとすれば極限値はすぐ出る。
文字が複雑なものとか漸化式を解くとかはできない(?)が,極限もGeogebraのほうが強力。
Maximaは収束を目で見るパッケージも用意されていて,わかりやすい!
 これに刺激を受けて,隣接3項間の漸化式の収束を目で見るマクロを作った。(詳しくは「Maxima で3項間漸化式を目で見る」)

図 2:
Diagram
(%i11) limit((3*n+1)/(n+1),n,inf);
\[(\%o11)3\]
(%i12) limit((n+1)/(2*n^2-n-3),n,inf);
\[(\%o12)0\]
(%i13) limit(sqrt(n^2+n)-n,n,inf);
\[(\%o13)\frac{1}{2}\]
(%i14) limit((sin(n*x))/n,n,inf);
\[\mbox{}\\Is\,x\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o14)0\]
(%i15) limit((4^n-5^n)/(3^n+5^n),n,inf);
\[(\%o15)-1\]
(%i16) limit(r^(n+1)/(1+r^n),n,inf);
\[\mbox{}\\Is\,\left| r\right| -1\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\mbox{}\\Is\,r-1\,positive,\,negative\,or\,zero?negative;\] \[(\%o16)r\]
(%i17) limit(r^(n+1)/(1+r^n),n,inf);
\[\mbox{}\\Is\,\left| r\right| -1\,positive,\,negative\,or\,zero?negative;\mbox{}\\Is\,r\,positive,\,negative\,or\,zero?negative;\mbox{}\\Is\,r+1\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o17)0\]
(%i18) limit(r^(n+1)/(1+r^n),n,inf);
\[\mbox{}\\Is\,\left| r\right| -1\,positive,\,negative\,or\,zero?zero;\mbox{}\\Is\,r\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\mbox{}\\Is\,r-1\,positive,\,negative\,or\,zero?zero;\] \[(\%o18)\frac{1}{2}\]
(%i19) solve(x=x/2+3);
\[(\%o19)[x=6]\]
(%i20) load("solve_rec")$
(%i21) solve_rec(a[n+1]=a[n]/2+3,a[n],a[1]=3);
\[(\%o21){{a}_{n}}=23-3{{2}^{1-n}}\]
(%i22) limit(%,n,inf);
\[(\%o22)\lim_{n\to \infty}a_{n}=6\]
(%i23) load(dynamics)$
(%i24) staircase(x/2+3,3,10,[gnuplot_preamble, "set zeroaxis"])$
\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\]

図 3:
Diagram

\[例題2 次の級数の収束,発散を調べ,収束するものは和を求めよ。\\
(1) 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}\cdots (2) 2+3+\frac{9}{2}+\frac{27}{4}+\cdots\\
(3) \sum_{n=1}~{\infty}\frac{2^n+3^n}{6^n}\\
(4) 0.\dot{5}\dot{7} (5) 3.5\dot{2}\]
級数の和は,定義どおり部分和の極限。ちょっと工夫が必要な場合もある。
循環小数のマクロを作った。循環節の始まる位置と,循環節を入力して分数表示。

(%i25) nusum((-1/3)^n,n,0,inf);
\[(\%o25)\frac{{{\left( -1\right) }^{\infty }}}{4{{3}^{\infty }}}+\frac{3}{{{2}^{2}}}\]
(%i26) limit(nusum((-1/3)^k,k,0,n),n,inf);
\[(\%o26)\frac{3}{4}\]
(%i27) limit(nusum((3/2)^k,k,2,n),n,inf);
\[(\%o27)\infty \]
(%i28) limit(nusum((2^k+3^k)/6^k,k,1,n),n,inf);
\[\frac{{{3}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}}{6\left( {{3}^{k}}+{{2}^{k}}\right) }\mbox{ non-rational term ratio to nusum}\] \[(\%o28)\lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left. \frac{{{3}^{k}}+{{2}^{k}}}{{{6}^{k}}}\right.}}\]
(%i29) limit(nusum((1/2)^k,k,1,n),n,inf);
\[(\%o29)1\]
(%i30) limit(nusum((1/3)^k,k,1,n),n,inf);
\[(\%o30)\frac{1}{2}\]
(%i31) recurde(a,b):=block(
r:-floor((log(b))/(log(10))+1),
return(a*b/(1-10^r)/10^(-r-1))
)$
(%i32) recurde(1/10,57);
\[(\%o32)\frac{19}{33}\]
(%i33) 35/10+recurde(1/100,2);
\[(\%o33)\frac{317}{90}\]

3 関数の極限

右側からの極限:right-side limit 左側からの極限:left-side limit
連続,連続関数:continuance(ラテン語「共に保持する, 並列させる」の意から),continuous function
不連続:discontinuous
区間:interval(ラテン語「城壁の間(の空間)」の意から) 開区間(open),閉区間(closed)
ガウス記号:Gauss'symbol Maximaではfloor()床関数
中間値の定理:intermediate value theorem
\[例題1 等式 \lim_{x\to 4}\frac{ax+4}{\sqrt{x}-2}=12が成り立つように,定数a,bの値を定めよ。\\
例題2 次の極限値を求めよ。\\
(1) \lim_{x\to \infty}\frac{x^2+x+5}{6x^2+3x+4} (2) \lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2-x+2}+x)\\
(3) \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x} (4) \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\]

図 4:
Diagram
(%i34) solve([4*a+b=0,limit((a*x-4*a)/(sqrt(x)-2),x,4)=12],[a,b]);
\[(\%o34)[[a=3,b=-12]]\]
(%i35) limit((x^2+x+5)/(6*x^2+3*x+4),x,inf);
\[(\%o35)\frac{1}{6}\]
(%i36) limit(sqrt(x^2-x+2)+x,x,-inf);
\[(\%o36)\frac{1}{2}\]
(%i37) limit(sin(2*x)/x,x,0);
\[(\%o37)2\]
(%i38) limit((1-cos(x))/x^2,x,0);
\[(\%o38)\frac{1}{2}\]

\[例題2 方程式 3^x-6x+2=0は,2<x<3の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことを証明せよ。\]
関数と区間を入力して,その区間で少なくとも1つ解をもつか判定するマクロ(あまり使いそうもないな)

(%i39) sol(f,a,b):=block(
f(x):=f,
return(is(subst(a,x,f(x))*subst(b,x,f(x))<0))
)$
(%i40) sol(3^x-6*x+2,2,3);
\[(\%o40)\mbox{true}\]
Created with wxMaxima. inserted by FC2 system