3-3

$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} $

関数と極限

1 関数

\[例題１　グラフを利用して，次の不等式を解け。\\
(1)　\frac{4x+3}{2x+3}>x　(2)　\sqrt{2x+8}>x\] ここでもGeogebraのCASは強力。

2 数列の極限

\[例題１　次の極限を調べ，極限値があれば求めよ。\\
(1)　\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{n+1}　(2)　\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2-n-3} 　(3)　\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)\\
(4)　\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin n\theta　(5)　\lim_{n\to\infty}\frac{4^n-5^n}{3^n+5^n}　(6)　\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}}{1+r^n}(r\ne -1)\\
(7)　a_1=3,a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+3のとき，\lim_{n\to\infty}a_{n}\] \[例題２　次の級数の収束，発散を調べ，収束するものは和を求めよ。\\
(1)　1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}\cdots　(2)　2+3+\frac{9}{2}+\frac{27}{4}+\cdots\\
(3)　\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+3^n}{6^n}\\
(4)　0.\dot{5}\dot{7}　(5)　3.5\dot{2}\] 数列の場合は，極限があるとすれば極限値はすぐ出る。
文字が複雑なものとか漸化式を解くとかはできない（？）が，極限もGeogebraのほうが強力。
漸化式は，数列の所で作ったワークシートを使って。

3 関数の極限

\[例題１　等式　\lim_{x\to 4}\frac{ax+4}{\sqrt{x}-2}=12が成り立つように，定数a,bの値を定めよ。\\
例題２　次の極限値を求めよ。\\
(1)　\lim_{x\to \infty}\frac{x^2+x+5}{6x^2+3x+4}　(2)　\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2-x+2}+x)\\
(3)　\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x}　(4)　\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\]

\[例題２　方程式　3^x-6x+2=0は，2<x<3の範囲に少なくとも１つの実数解をもつことを証明せよ。\]

関数と極限

1 関数

\[例題１　グラフを利用して，次の不等式を解け。\\
(1)　\frac{4x+3}{2x+3}>x　(2)　\sqrt{2x+8}>x\] 分子の次数を分母の次数より低くする（真分数）変形はpartfrac(f,x)
clip は「挟み込む」と「切る」の両方の意味があって，y の値が大きすぎる x は刈り込んだということか。
分数方程式・不等式はMaximaで解けるが，無理方程式・不等式はすぐには無理のようだ。
　青いグラフが上にある範囲は，グラフから-4＜=ｘ＜４

(%i1)

partfrac((4*x+3)/(2*x+3),x);

\[(\%o1)2-\frac{3}{2x+3}\]

(%i2)

wxplot2d([(4*x+3)/(2*x+3),x], [x,-5,5], [y,-5,5])$

\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] \[(\%t2)\] (Graphics)

(%i3)

solve((4*x+3)/(2*x+3)=x);

\[(\%o3)[x=\frac{3}{2},x=-1]\]

(%i4)

load(fourier_elim)$

(%i5)

ineq(f):=fourier_elim([f],[x])$

(%i6)

ineq((4*x+3)/(2*x+3)>x);

\[(\%o6)[-1<x,x<\frac{3}{2}]\mathit{ or }[x<-\frac{3}{2}]\]

(%i7)

wxplot2d([sqrt(2*x+8),x], [x,-5,5])$

\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: expression evaluates to non-numeric value somewhere in plotting range.}\] \[(\%t7)\] (Graphics)

(%i8)

solve(sqrt(2*x+8)=x);

\[(\%o8)[x=\sqrt{2x+8}]\]

(%i9)

solve(sqrt(2*x+8)^2=x^2);

\[(\%o9)[x=-2,x=4]\]

(%i10)

ineq(sqrt(2*x+8)>x);

\[(\%o10)[\sqrt{2}\,\sqrt{x+4}-x>0]\]

2 数列の極限

\[例題１　次の極限を調べ，極限値があれば求めよ。\\
(1)　\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{n+1}　(2)　\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n^2-n-3} 　(3)　\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)\\
(4)　\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin n\theta　(5)　\lim_{n\to\infty}\frac{4^n-5^n}{3^n+5^n}　(6)　\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}}{1+r^n}(r\ne -1)\\
(7)　a_1=3,a_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+3のとき，\lim_{n\to\infty}a_{n}\] Maximaは収束を目で見るパッケージも用意されていて，わかりやすい！
これに刺激を受けて，隣接3項間の漸化式の収束を目で見るマクロを作った。（詳しくは「Maxima で3項間漸化式を目で見る」）

(%i11)

limit((3*n+1)/(n+1),n,inf);

\[(\%o11)3\]

(%i12)

limit((n+1)/(2*n^2-n-3),n,inf);

\[(\%o12)0\]

(%i13)

limit(sqrt(n^2+n)-n,n,inf);

\[(\%o13)\frac{1}{2}\]

(%i14)

limit((sin(n*x))/n,n,inf);

\[\mbox{}\\Is\,x\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o14)0\]

(%i15)

limit((4^n-5^n)/(3^n+5^n),n,inf);

\[(\%o15)-1\]

(%i16)

limit(r^(n+1)/(1+r^n),n,inf);

\[\mbox{}\\Is\,\left| r\right| -1\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\mbox{}\\Is\,r-1\,positive,\,negative\,or\,zero?negative;\] \[(\%o16)r\]

(%i17)

limit(r^(n+1)/(1+r^n),n,inf);

\[\mbox{}\\Is\,\left| r\right| -1\,positive,\,negative\,or\,zero?negative;\mbox{}\\Is\,r\,positive,\,negative\,or\,zero?negative;\mbox{}\\Is\,r+1\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\] \[(\%o17)0\]

(%i18)

limit(r^(n+1)/(1+r^n),n,inf);

\[\mbox{}\\Is\,\left| r\right| -1\,positive,\,negative\,or\,zero?zero;\mbox{}\\Is\,r\,positive,\,negative\,or\,zero?positive;\mbox{}\\Is\,r-1\,positive,\,negative\,or\,zero?zero;\] \[(\%o18)\frac{1}{2}\]

(%i19)

solve(x=x/2+3);

\[(\%o19)[x=6]\]

(%i20)

load("solve_rec")$

(%i21)

solve_rec(a[n+1]=a[n]/2+3,a[n],a[1]=3);

\[(\%o21){{a}_{n}}=23-3{{2}^{1-n}}\]

(%i22)

limit(%,n,inf);

\[(\%o22)\lim_{n\to \infty}a_{n}=6\]

(%i23)

load(dynamics)$

(%i24)

staircase(x/2+3,3,10,[gnuplot_preamble, "set zeroaxis"])$

\[\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\mbox{}\\\mbox{plot2d: some values were clipped.}\] Diagram

\[例題２　次の級数の収束，発散を調べ，収束するものは和を求めよ。\\
(1)　1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}\cdots　(2)　2+3+\frac{9}{2}+\frac{27}{4}+\cdots\\
(3)　\sum_{n=1}~{\infty}\frac{2^n+3^n}{6^n}\\
(4)　0.\dot{5}\dot{7}　(5)　3.5\dot{2}\] 級数の和は，定義どおり部分和の極限。ちょっと工夫が必要な場合もある。
循環小数のマクロを作った。循環節の始まる位置と，循環節を入力して分数表示。
級数の和は，定義どおり部分和の極限。ちょっと工夫が必要な場合もある。
循環小数のマクロを作った。循環節の始まる位置と，循環節を入力して分数表示。

(%i25)

nusum((-1/3)^n,n,0,inf);

\[(\%o25)\frac{{{\left( -1\right) }^{\infty }}}{4{{3}^{\infty }}}+\frac{3}{{{2}^{2}}}\]

(%i26)

limit(nusum((-1/3)^k,k,0,n),n,inf);

\[(\%o26)\frac{3}{4}\]

(%i27)

limit(nusum((3/2)^k,k,2,n),n,inf);

\[(\%o27)\infty \]

(%i28)

limit(nusum((2^k+3^k)/6^k,k,1,n),n,inf);

\[\frac{{{3}^{k+1}}+{{2}^{k+1}}}{6\left( {{3}^{k}}+{{2}^{k}}\right) }\mbox{ non-rational term ratio to nusum}\] \[(\%o28)\lim_{n\to\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left. \frac{{{3}^{k}}+{{2}^{k}}}{{{6}^{k}}}\right.}}\]

(%i29)

limit(nusum((1/2)^k,k,1,n),n,inf);

\[(\%o29)1\]

(%i30)

limit(nusum((1/3)^k,k,1,n),n,inf);

\[(\%o30)\frac{1}{2}\]

(%i31)

recurde(a,b):=block(
r:-floor((log(b))/(log(10))+1),
return(a*b/(1-10^r)/10^(-r-1))
)$

(%i32)

recurde(1/10,57);

\[(\%o32)\frac{19}{33}\]

(%i33)

35/10+recurde(1/100,2);

\[(\%o33)\frac{317}{90}\]

3 関数の極限

(%i34)

solve([4*a+b=0,limit((a*x-4*a)/(sqrt(x)-2),x,4)=12],[a,b]);

\[(\%o34)[[a=3,b=-12]]\]

(%i35)

limit((x^2+x+5)/(6*x^2+3*x+4),x,inf);

\[(\%o35)\frac{1}{6}\]

(%i36)

limit(sqrt(x^2-x+2)+x,x,-inf);

\[(\%o36)\frac{1}{2}\]

(%i37)

limit(sin(2*x)/x,x,0);

\[(\%o37)2\]

(%i38)

limit((1-cos(x))/x^2,x,0);

\[(\%o38)\frac{1}{2}\] \[例題２　方程式　3^x-6x+2=0は，2<x<3の範囲に少なくとも１つの実数解をもつことを証明せよ。\]
関数と区間を入力して，その区間で少なくとも１つ解をもつか判定するマクロ（あまり使いそうもないな）

(%i39)

sol(f,a,b):=block(
f(x):=f,
return(is(subst(a,x,f(x))*subst(b,x,f(x))<0))
)$

(%i40)

sol(3^x-6*x+2,2,3);

\[(\%o40)\mbox{true}\]

関数と極限

1 関数

分数関数：fractional function　直角双曲線：rectangular hyperbola
　rectangle rect（right）正しい＋angle角
無理関数：irrational function
逆関数：inverse function　合成関数：composed function

2 数列の極限

無限数列：infinite sequence
第n項：n-th term　一般項：general（ある種類（全体）の） term
収束：converge，極限値：limit
発散：diverge　正の負の無限大：positive（negative）infinity
振動：oscillate（ラテン語「揺れる」の意から）
はさみうちの原理：さあ英語ではなんと言うかを調べたら，面白いことがWikiに載っていた。以下Wikiから
　英語では定理 (theorem) の名を冠される場合が多く、squeeze（押しつぶす） theorem, pinching（挟む） theorem,
　 sandwich theorem などと呼ばれる。
　イタリアやロシアでは、「二人の警察官の定理」として知られ、次のようなたとえ話と共に紹介される。
　囚人が二人の警察官に挟まれているとすれば、二人の警察官が部屋に入るときには、囚人も必然的にその部屋に入ることになる。
無限等比数列：infinite geometric sequence
無限級数：infinite series
部分和：partial sum　和：sum
無限等比級数：infinite geometric series
循環小数：recurring decimal

3 関数の極限

右側からの極限：right-side limit　左側からの極限：left-side limit
連続，連続関数：continuance（ラテン語「共に保持する, 並列させる」の意から）,continuous function
不連続：discontinuous
区間：interval（ラテン語「城壁の間(の空間)」の意から）　開区間（open），閉区間（closed）
ガウス記号：Gauss'symbol 　Maximaではfloor()床関数
中間値の定理：intermediate value theorem

Created with wxMaxima.