\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

平面上の曲線

1 2次曲線(quadratic curve)

放物線:parabola
 離心率が1に等しいから,平行とか等しい意味のparaを使う
焦点:focusラテン語「炉(の焼点)」の意から 準線:directrix
頂点:vertex上昇したものが下方に向きを変える(vertere)点 軸:axis
標準形:標準というのは言葉にも色々ある
 prototype,canonicalギリシャ語「計量用のさお」(cannon音楽のカノンと同じ)の意から
 normalラテン語「(大工の)物差し」の意から
 standard古期フランス語「立っている地点, 集結地点」の意から
楕円:ellipse 長軸:major axis 短軸:minor axis 中心:center
 離心率が1より小さいから,足りないとかいう意味らしい
双曲線:hyperbola 主軸:principal axis 漸近線:asymptote 直角双曲線:rectangular hyperbola
 離心率が1より大きいから,越すというhyperを使う
接する:touch,contact 接線:tangent 接点:contact point
離心率:eccentricity中心(center)から離れる
母線:generator
円錐曲線:conics アイスクリームのコーン
\[例題1 長さ7の線分PQがある。点Pがx軸上,点Qがy軸上を動くとき,\\
   PQを3:4に内分する点Rの軌跡を求めよ。\]
軌跡の問題に消去(eliminate)を使ってみた。
eliminate([],[]):最初の[]の中から次の[]の中の変数を消去する。
Geogebraでやると,Eliminateもできて,目でも見える。

(%i1) eliminate([p^2+q^2=7^2,x=4*p/7,y=3*q/7],[p,q]);
\[(\%o1)[2401{{\left( 16{{y}^{2}}+9{{x}^{2}}-144\right) }^{2}}]\]

図 1:
Diagram

\[例題2 楕円 4x^2+y^2=4と直線 y=x+kが接するように,kの値を定めよ。\]
交点の問題だから,連立して解き,接するので重解だから根号の中身が消えるようにkを解く。
あるいは,yを消去して,xの2次方程式の判別式が0を解く。
Geogebraでは,陰関数の式を入れるだけで,図をかいてくれる。

図 2:
Diagram
(%i2) solve([4*x^2+y^2=4,y=x+k],[x,y]);
\[(\%o2)[[x=-\frac{2\sqrt{5-{{k}^{2}}}+k}{5},y=-\frac{2\sqrt{5-{{k}^{2}}}-4k}{5}],[x=\frac{2\sqrt{5-{{k}^{2}}}-k}{5},y=\frac{2\sqrt{5-{{k}^{2}}}+4k}{5}]]\]
(%i3) solve(5-k^2);
\[(\%o3)[k=-\sqrt{5},k=\sqrt{5}]\]
(%i4) eliminate([4*x^2+y^2-4,y=x+k],[y]);
\[(\%o4)[5{{x}^{2}}+2kx+{{k}^{2}}-4]\]
(%i5) f:%[1];
\[\tag{f}\label{f}5{{x}^{2}}+2kx+{{k}^{2}}-4\]
(%i6) D(f):=block(
a:coeff(f,x,2),
b:coeff(f,x,1),
c:coeff(f,x,0),
return(b^2-4*a*c)
)$
(%i7) solve(D(f));
\[(\%o7)[k=-\sqrt{5},k=\sqrt{5}]\]

\[例題3 次の方程式はどのような図形を表すか。また,その概形をかけ。
(1) y^2-4x-4y=0 (2)9x^2+4y^2+18x-16y-11=0 (3)x^2-2y^2-4y=0 \]
放物線 x=ay^2+by+c の頂点,焦点,準線を求める。
楕円 ax2+by2+cx+dy+e=0 の中心,短軸・長軸,焦点を求める。
双曲線 ax2+by2+cx+dy+e=0 の中心,漸近線,焦点を求める。
たまに,変なことが起こったら,変数を消去するといい。kill(all)$

Geogebraでは,次のコマンドがある。
 Conic[a,b,c,d,e,f]:ax^2+by^2+dxy+ex+fy+c=0
 Axis[]:長軸MajorAxis[],短軸MinorAxis[]の方程式
 SemiMajorAxisLength[]:長軸の長さ,SemiMminorAxisLength[]:短軸の長さ
 Focus[]:焦点,Vertex[]:頂点,Directrix[]:準線
 Eccentricity[]:離心率,Center[]:中心,Focus[]:焦点
 Polar[]:極線
 Circle,Ellipse,Hyperbora,Parabora

図 3:
Diagram
(%i8) palla(a,b,c):=block(
    p:1/4/a,
    s:-b/2/a,
    t:(4*a*c-b^2)/4/a,
    print("vertex:(",t,",",s,")"),
    print("focus:(",t+p,",",s,")"),
    print("directrix:x=",t-p),
    return("pallabola")
)$
(%i9) palla(1/4,-1,0);
\[\mbox{}\\vertex:( -1 , 2 ) \mbox{}\\focus:( 0 , 2 ) \mbox{}\\directrix:x= -2 \] \[(\%o9)pallabola\]

図 4:
Diagram
(%i10) elli(a,b,c,d,e):=block(
    s:-c/2/a,t:-d/2/b,u:-e+c^2/4/a+d^2/4/b,
    print("center:(",s,",",t,")"),
    p:sqrt(u/a),q:sqrt(u/b),
    print("x-axis:",2*p,"y-axis:",2*q),
    if p<q then print("focus:(",s,",",t-sqrt(q^2-p^2),"),(",s,",",t+sqrt(q^2-p^2),")")
    else
        print("focus:(",s-sqrt(p^2-q^2),",",t,"),(",s+sqrt(p^2-q^2),",",t,")"),
    return("ellipse")
)$
(%i11) elli(9,4,18,-16,-11);
\[\mbox{}\\center:( -1 , 2 ) \mbox{}\\x-axis: 4 y-axis: 6 \mbox{}\\focus:( -1 , 2-\sqrt{5} ),( -1 , \sqrt{5}+2 ) \] \[(\%o11)ellipse\]
(%i12) hyp(a,b,c,d,e):=block(
    s:-c/2/a,t:-d/2/b,u:-e+c^2/4/a+d^2/4/b,
    print("center:(",s,",",t,")"),
    p:sqrt(abs(u)/a),q:sqrt(-abs(u)/b),
    print("asympt:y-",t,"=pm",abs(q/p),"(x-",s,")"),
    if p>q then print("focus:(",s,",",t-sqrt(q^2+p^2),"),(",s,",",t+sqrt(q^2+p^2),")")
    else
        print("focus:(",s-sqrt(p^2+q^2),",",t,"),(",s+sqrt(p^2+q^2),",",t,")"),
    return("hyperbola")
)$
(%i13) hyp(1,-2,0,-4,-10);
\[\mbox{}\\center:( 0 , -1 ) \mbox{}\\asympt:y- -1 =pm \frac{1}{\sqrt{2}} (x- 0 ) \mbox{}\\focus:( 0 , -2\sqrt{3}-1 ),( 0 , 2\sqrt{3}-1 ) \] \[(\%o13)hyperbola\]

図 5:
Diagram

plot2d は陽関数表示と媒介変数表示と離散表示はできる。
楕円は媒介変数表示が楽。
その他のグラフは,パッケージ draw を読むことになる。
陰関数表示は implicit(式,x,始点,終点,y,始点,終点)
 陽関数表示は explicit(式,x,始点,終点)
 複数のグラフをかくことも色をつけることも簡単。
 gnuplotの縦横比は自動的に黄金比になるので,比を等しくするのは7Keyを押す。

(%i14) kill(all)$
(%i1) wxplot2d([['parametric, 2*cos(t)-1, 3*sin(t)+2, [t, 0, 2*%pi],
 [nticks, 300]]], [x,-4,2],
 [gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$
\[(\%t1)\]  (Graphics)
(%i2) load(draw)$
(%i3) draw2d(
    xaxis = true,
    yaxis = true,
    color = blue,
    implicit(9*x^2+4*y^2+18*x-16*y-11=0,x,-4,2,y,-2,6)
)$

図 6:
Diagram
(%i4) draw2d(
    xaxis = true,
    yaxis = true,
    color = green,
    explicit(-1/sqrt(2)*x-1,x,-6,6),
    explicit(1/sqrt(2)*x-1,x,-6,6),
    color = blue,
    implicit(x^2-2*y^2-4*y-10=0,x,-6,6,y,-4,3)
)$

図 7:
Diagram

ついでに,3次元のグラフもかいてしまおう。
surface_hide = true は見えないところをかくす。
これがグリグリと動くから気持ちいい。

(%i5) draw3d(
    implicit(x^2+y^2=z^2,x,-3,3,y,-3,3,z,-3,3),
    explicit(-x-1,x,-3,3,y,-3,3),
    surface_hide = true
)$

図 8:
Diagram
(%i6) draw3d(
    implicit(x^2+y^2=z^2,x,-3,3,y,-3,3,z,-3,3),
    explicit(-1/2*x-1,x,-3,3,y,-3,3),
    surface_hide = true
)$

図 9:
Diagram

次の命令をしたら,10年位前は書いてくれたのにエラーがでる。
draw3d(
    implicit(x^2+y^2=z^2,x,-3,3,y,-3,3,z,-3,3),
    implicit(y=1,x,-3,3,y,-3,3,x,-3,3),
    surface_hide = true
)$
グラフィックはGeogebraだな。

図 10:
Diagram

2 媒介変数表示と極座標

媒介変数表示:parametric representation 媒介変数:parameter
サイクロイド:cycloid 円のようなもの
\[例題1 次の媒介変数表示はどのような曲線を表すか。\\
   (1) x=3t^2,y=6t (2) x=2\cos t+1,y=2\sin t+3\\
(3) x=t-sin(t),y=1-cos(t)\\
   例題2 放物線 y=x^2+2tx-2tの頂点Pは,tの値が変化するとき,どのような曲線上を動くか。\]
さすがに,sin,cos の消去はできなかったのでちょっと工夫。
Geogebraでは,Curve[f(t),g(t),t,a,b],Eliminateもできるから優秀。
下の極方程式もCASでMaximaと同じくらいは計算する。Locus[P,t]で軌跡もかく。

(%i7) eliminate([x=3*t^2,y=6*t],[t]);
\[(\%o7)[3\left( 12x-{{y}^{2}}\right) ]\]
(%i8) eliminate([x=2*c+1,y=2*s+3,c^2+s^2=1],[s,c]);
\[(\%o8)[4\left( {{y}^{2}}-6y+{{x}^{2}}-2x+6\right) ]\]

図 11:
Diagram
(%i9) eliminate([x=-t,y=-t^2-2*t],[t]);
\[(\%o9)[y+{{x}^{2}}-2x]\]

図 12:
Diagram

極座標:polar coordinates 極:polar ploeギリシャ語「軸」の意から,ポール(棒)は同音異義語
偏角:argumentラテン語「明らかにする」の意から,amplitude(振幅を大きくするのがアンプ) 長さ:length 大きさ:size,magnitude
直交座標:rectangularラテン語「正しい角」の意から(Cartesianデカルト) coordinates
極方程式:polar equation
\[例題3 次の式を極方程式で表わせ。\\
   (1)5x^2+y^2=1 (2)x^2+y^2-4x=0 (3)x^2-3y^2=-1\]
直交座標表示を極座標表示に直すということは,xとyを消去すればいい。
あとは,rについて解く。まさか,こんなことができるとは。

(%i10) trigsimp(solve(eliminate([5*x^2+y^2=1,x=r*cos(t),y=r*sin(t)],[x,y]),r));
\[(\%o10)[r=-\frac{1}{\sqrt{4{{\cos{(t)}}^{2}}+1}},r=\frac{1}{\sqrt{4{{\cos{(t)}}^{2}}+1}}]\]
(%i11) trigsimp(solve(eliminate([x^2+y^2-4*x=0,x=r*cos(t),y=r*sin(t)],[x,y]),r));
\[(\%o11)[r=4\cos{(t)},r=0]\]
(%i12) trigsimp(solve(eliminate([x^2-3*y^2=-1,x=r*cos(t),y=r*sin(t)],[x,y]),r));
\[(\%o12)[r=-\frac{1}{\sqrt{3-4{{\cos{(t)}}^{2}}}},r=\frac{1}{\sqrt{3-4{{\cos{(t)}}^{2}}}}]\]

リサージュ曲線:Lissajous curve
アルキメデスの渦巻線:Archimedes' spiral「かけん」とか読むのだろうかと思ってしまう,渦巻きと「き」を入れるべきだ。
正葉曲線:rose curve バラ曲線でいいのに,デカルトのとは違うリサージュなどはやっぱり目で見たいものだ。

(%i14) m:3$n:2$
(%i15) wxplot2d([['parametric, sin(m*t), sin(n*t), [t, 0, 2*%pi],
 [nticks, 300]]], [x,-1,1], [gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$
\[(\%t15)\]  (Graphics)

極座標表示も draw で,
polar(式,変数,始点,終点)
Geogebraには極方程式は見当たらない。
 Curve[r*cos(t),r*sin(t),t,0,2pi)]でいいのかな。

図 13:
Diagram
(%i16) draw2d(
    xaxis = true,
    yaxis = true,
    color = blue,
    nticks = 300,
    polar(theta,theta,0,%pi*4)
)$

図 14:
Diagram

図 15:
Diagram
(%i17) draw2d(
    xaxis = true,
    yaxis = true,
    color = blue,
    nticks = 300,
    polar(sin(m*t),t,0,%pi*2)
)$

図 16:
Diagram

図 17:
Diagram

教科書にはないが,2次曲線の標準形と極方程式の関係について
極方程式が de/(1-e cos θ) であるのは,焦点が極座標の原点のとき

図 18: C:\Users\N00653268\Googleドライブ\wxmx\curve4-2.JPG
Diagram

最後にこれも教科書にはないが,双曲線の媒介変数表示について。
1+tan^2θ=1/cos^2θ より 1/cos^2θ-tan^2θ=1 を使って
x=a/cosθ,y=btanθ

図 19: C:
Diagram


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