平面上の曲線
1 2次曲線(quadratic curve)
\[例題1 長さ7の線分PQがある。点Pがx軸上,点Qがy軸上を動くとき,\\
\[例題2 楕円 4x^2+y^2=4と直線 y=x+kが接するように,kの値を定めよ。\]
交点の問題だから,連立して解き,接するので重解だから根号の中身が消えるようにkを解く。
あるいは,yを消去して,xの2次方程式の判別式が0を解く。
Geogebraでは,陰関数の式を入れるだけで,図をかいてくれる。
\[例題3 次の方程式はどのような図形を表すか。また,その概形をかけ。\\(1) y^2-4x-4y=0 (2)9x^2+4y^2+18x-16y-11=0 (3)x^2-2y^2-4y=0 \]
Geogebraでは,次のコマンドがある。
Conic[a,b,c,d,e,f]:ax^2+by^2+dxy+ex+fy+c=0
Axis[]:長軸MajorAxis[],短軸MinorAxis[]の方程式
SemiMajorAxisLength[]:長軸の長さ,SemiMminorAxisLength[]:短軸の長さ
Focus[]:焦点,Vertex[]:頂点,Directrix[]:準線
Asymptote[]:漸近線
Eccentricity[]:離心率
Polar[]:極線
ついでに,円錐曲線と切断面。美しい!グラフィックはGeogebraだな。
2 媒介変数表示と極座標
\[例題1 次の媒介変数表示はどのような曲線を表すか。\\平面上の曲線
1 2次曲線(quadratic curve)
\[例題1 長さ7の線分PQがある。点Pがx軸上,点Qがy軸上を動くとき,\\(%i1) | eliminate([p^2+q^2=7^2,x=4*p/7,y=3*q/7],[p,q]); |
(%i2) | solve([4*x^2+y^2=4,y=x+k],[x,y]); |
(%i3) | solve(5-k^2); |
(%i4) | eliminate([4*x^2+y^2-4,y=x+k],[y]); |
(%i5) | f:%[1]; |
(%i6) |
D(f):=block( a:coeff(f,x,2), b:coeff(f,x,1), c:coeff(f,x,0), return(b^2-4*a*c) )$ |
(%i7) | solve(D(f)); |
(%i8) |
palla(a,b,c):=block( p:1/4/a, s:-b/2/a, t:(4*a*c-b^2)/4/a, print("vertex:(",t,",",s,")"), print("focus:(",t+p,",",s,")"), print("directrix:x=",t-p), return("pallabola") )$ |
(%i9) | palla(1/4,-1,0); |
(%i10) |
elli(a,b,c,d,e):=block( s:-c/2/a,t:-d/2/b,u:-e+c^2/4/a+d^2/4/b, print("center:(",s,",",t,")"), p:sqrt(u/a),q:sqrt(u/b), print("x-axis:",2*p,"y-axis:",2*q), if p<q then print("focus:(",s,",",t-sqrt(q^2-p^2),"),(",s,",",t+sqrt(q^2-p^2),")") else print("focus:(",s-sqrt(p^2-q^2),",",t,"),(",s+sqrt(p^2-q^2),",",t,")"), return("ellipse") )$ |
(%i11) | elli(9,4,18,-16,-11); |
(%i12) |
hyp(a,b,c,d,e):=block( s:-c/2/a,t:-d/2/b,u:-e+c^2/4/a+d^2/4/b, print("center:(",s,",",t,")"), p:sqrt(abs(u)/a),q:sqrt(-abs(u)/b), print("asympt:y-",t,"=pm",abs(q/p),"(x-",s,")"), if p>q then print("focus:(",s,",",t-sqrt(q^2+p^2),"),(",s,",",t+sqrt(q^2+p^2),")") else print("focus:(",s-sqrt(p^2+q^2),",",t,"),(",s+sqrt(p^2+q^2),",",t,")"), return("hyperbola") )$ |
(%i13) | hyp(1,-2,0,-4,-10); |
(%i14) | kill(all)$ |
(%i1) |
wxplot2d([['parametric, 2*cos(t)-1, 3*sin(t)+2, [t, 0, 2*%pi], [nticks, 300]]], [x,-4,2], [gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$ |
(%i2) | load(draw)$ |
(%i3) |
draw2d( xaxis = true, yaxis = true, color = blue, implicit(9*x^2+4*y^2+18*x-16*y-11=0,x,-4,2,y,-2,6) )$ |
(%i4) |
draw2d( xaxis = true, yaxis = true, color = green, explicit(-1/sqrt(2)*x-1,x,-6,6), explicit(1/sqrt(2)*x-1,x,-6,6), color = blue, implicit(x^2-2*y^2-4*y-10=0,x,-6,6,y,-4,3) )$ |
(%i5) |
draw3d( implicit(x^2+y^2=z^2,x,-3,3,y,-3,3,z,-3,3), explicit(-x-1,x,-3,3,y,-3,3), surface_hide = true )$ |
(%i6) |
draw3d( implicit(x^2+y^2=z^2,x,-3,3,y,-3,3,z,-3,3), explicit(-1/2*x-1,x,-3,3,y,-3,3), surface_hide = true )$ |
次の命令をしたら,10年位前は書いてくれたのにエラーがでる。
draw3d(
implicit(x^2+y^2=z^2,x,-3,3,y,-3,3,z,-3,3),
implicit(y=1,x,-3,3,y,-3,3,x,-3,3),
surface_hide = true
)$
2 媒介変数表示と極座標
\[例題1 次の媒介変数表示はどのような曲線を表すか。\\(%i7) | eliminate([x=3*t^2,y=6*t],[t]); |
(%i8) | eliminate([x=2*c+1,y=2*s+3,c^2+s^2=1],[s,c]); |
(%i9) | eliminate([x=-t,y=-t^2-2*t],[t]); |
(%i10) | trigsimp(solve(eliminate([5*x^2+y^2=1,x=r*cos(t),y=r*sin(t)],[x,y]),r)); |
(%i11) | trigsimp(solve(eliminate([x^2+y^2-4*x=0,x=r*cos(t),y=r*sin(t)],[x,y]),r)); |
(%i12) | trigsimp(solve(eliminate([x^2-3*y^2=-1,x=r*cos(t),y=r*sin(t)],[x,y]),r)); |
(%i14) | m:3$n:2$ |
(%i15) |
wxplot2d([['parametric, sin(m*t), sin(n*t), [t, 0, 2*%pi], [nticks, 300]]], [x,-1,1], [gnuplot_preamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$ |
(%i16) |
draw2d( xaxis = true, yaxis = true, color = blue, nticks = 300, polar(theta,theta,0,%pi*4) )$ |
(%i17) |
draw2d( xaxis = true, yaxis = true, color = blue, nticks = 300, polar(sin(m*t),t,0,%pi*2) )$ |
平面上の曲線
1 2次曲線(quadratic curve)
放物線:parabola
離心率が1に等しいから,平行とか等しい意味のparaを使う
焦点:focusラテン語「炉(の焼点)」の意から 準線:directrix
頂点:vertex上昇したものが下方に向きを変える(vertere)点 軸:axis
標準形:標準というのは言葉にも色々ある
prototype,canonicalギリシャ語「計量用のさお」(cannon音楽のカノンと同じ)の意から
normalラテン語「(大工の)物差し」の意から
standard古期フランス語「立っている地点, 集結地点」の意から
楕円:ellipse 長軸:major axis 短軸:minor axis 中心:center
離心率が1より小さいから,足りないとかいう意味らしい
双曲線:hyperbola 主軸:principal axis 漸近線:asymptote 直角双曲線:rectangular hyperbola
離心率が1より大きいから,越すというhyperを使う
接する:touch,contact 接線:tangent 接点:contact point
離心率:eccentricity中心(center)から離れる
母線:generator
円錐曲線:conics アイスクリームのコーン
2 媒介変数表示と極座標
媒介変数表示:parametric representation 媒介変数:parameter