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$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} $

微分と積分（calculus）

1 微分係数と導関数

\[例題１　次の関数を微分せよ。\] \[(1)f(x)=x^3 導関数の定義に従って\hspace{2cm}(2)y=2x^3+3x^2-5x+2\] 下の例題２と共に，limit,derivative

2 導関数の応用

\[例題１　点A（3,-4）から曲線　y=x^2-3xへ引いた接線の方程式を求めよ。\]

GeogebraはプログラミングをSequenceで間に合わせるのが，やっかい。
曲線上の点のときは，その点における接線。
\[例題２　関数　f(x)=4x^3-3x^2-6x+2の増減を調べ，極値を求めよ。\\
また，区間-1\le x\le2における最大値と最小値を求めよ。\]

\[例題３　関数　f(x)=x^3+ax^2+bx-1が\\
x=1で極大値，x=3で極小値をとるような定数a,bの値を求めよ。\] (x-1)(x-3)を積分して，係数を合わせればいい。
\[例題４　３次方程式　x^3-3x-a=0の異なる実数解の個数は，\\
定数aの値によってどのように変わるか。\]

これが，定数分離法の一例。x^3-3x=a として，実数解の個数は2つのグラフの交点の個数と同じとする。

スライダーの最も有効な使いかたの一つではないでしょうか。
y=aと入力すると，勝手にスライダーを作ってくれる。

3 積分法

\[例題１　次を積分せよ。\\
(1)　f(x)=(x+1)(2x-1)\hspace{1cm} (2)　\int_{0}^{3}(x-2)^2dx\hspace{1cm} (3)　\int_{0}^{3}|x(x-2)|dx\] \[例題２　グラフ上の各点(x,y)における接線の傾きが 3x^2-4xで点(1,5)を通る関数を求めよ。\] \[例題３　等式　f(x)=4x+3\int_{0}^{1}f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ。\] \[例題４　次の等式を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。\\\int_{a}^{x}f(t)dt=3x^2-4x+1\]

積分は，integral
微分した元の関数を初期条件を満たすように求める。これは，微分方程式を解くと同じです。
ODE（Ordinary differential equation）常微分方程式。

定積分関数といってます。定積分を使って表される関数。
積分範囲が定数だったら，その定積分は定数。その定数を求めればいいのだけれど，関数を答えるために代入文使ってます。
かえってわかりづらくなったかな？

\[例題５　２つの放物線　y=x^2-2x,y=-x^2+4で囲まれた図形の面積を求めよ。\]

面積だけだすなら，最後のintegralでいいのですが，グラフを勝手に色づけてくれるので，integralbetween

微分と積分（calculus）

1 微分係数と導関数

limit(f,x,a) は f の x を a に近づけたときの極限。
diff(f,x,n) は f を x で n 回微分する。n は省略すれば 1。
Maxima は積の微分法を行うんだな。
\[例題１　次の関数を微分せよ。\\(1)f(x)=x^3 導関数の定義に従って\hspace{2cm}(2)y=2x^3+3x^2-5x+2\]

(%i1)

limit(((x+h)^3-x^3)/h, h, 0);

\[(\%o1)3{{x}^{2}}\]

(%i2)

diff(2*x^3+3*x^2-5*x+2,x);

\[(\%o2)6{{x}^{2}}+6x-5\]

(%i3)

diff(f(x)*g(x),x);

\[(\%o3)\operatorname{f}(x)\,\left( \frac{d}{dx}\operatorname{g}(x)\right) +\operatorname{g}(x)\,\left( \frac{d}{dx}\operatorname{f}(x)\right) \]

2 導関数の応用

\[例題１　点A（3,-4）から曲線　y=x^2-3xへ引いた接線の方程式を求めよ。\] \[例題２　関数　f(x)=4x^3-3x^2-6x+2の増減を調べ，極値を求めよ。\\また，区間-1\le x\le2における最大値と最小値を求めよ。\] \[例題３　関数　f(x)=x^3+ax^2+bx-1が\\
x=1で極大値，x=3で極小値をとるような定数a,bの値を求めよ。\]
なかなかいいマクロができましたよ。接線の方程式を求めるマクロ。
曲線上の点ならその上での接線，曲線上の点でなければ底から引いた接線の方程式を求める。
次は，極値を求めるマクロ。
例題３は与えられた点で極値をとる関数は（次の範囲ですが）積分すればいいわけで。

(%i4)

tangentLine(a,b,f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f,x),
if b=f(a) then print("y=",expand(subst(a,x,g(x))*(x-a)+b)),
h(p):=subst(p,x,g(x))*(x-p)+subst(p,x,f(x)),
l:solve(subst(p,x,g(x))*(a-p)+subst(p,x,f(x))=b,p),
for i:1 thru length(l) do print("y=",expand(ev(h(p),l[i])))
)$

(%i5)

tangentLine(3,-4,x^2-3*x)$

\[\mbox{}\\y= -x-1 \mbox{}\\y= 7x-25 \]

(%i6)

maxmin(f):=block(
f(x):=f,
g(x):=diff(f(x),x),
h(x):=diff(g(x),x),
l:solve(g(x)=0,x),
for i:1 thru length(l) do block(
if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))<0 then s:"Local Max:"
else if subst(ev(x,l[i]),x,h(x))>0 then s:"Local Min:"
else s:"inflection point",
print(s,"x=",ev(x,l[i]),",y=",subst(ev(x,l[i]),x,f(x)))
)
)$

(%i7)

maxmin(4*x^3-3*x^2-6*x+2)$

\[\mbox{}\\Local\,Min: x= 1 ,y= -3 \mbox{}\\Local\,Max: x= -\frac{1}{2} ,y= \frac{15}{4} \]

(%i8)

wxplot2d([4*x^3-3*x^2-6*x+2],[x,-1,2]);

\[(\%t8)\] (Graphics)

\[(\%o8)\]

(%i9)

integrate((x-1)*(x-3),x);

\[(\%o9)\frac{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x}{3}\] \[例題４　３次方程式　x^3-3x-a=0の異なる実数解の個数は，\\
定数aの値によってどのように変わるか。\] 定数(a)分離法で constant separation なんて，グラフのタイトルにはつけたけど，こんな英語はないな，きっと。
アニメを作る方法もいろいろあるんです。
　まず，Gifファイルを作る方法。まあ上のように全部描けという命令を出すのもおっくうだから，
　　下のようにapply append という関数を使ったら少し楽になりました。
　このページにそのまま書くこともできる。でも、このあたりはもうGeogebraのほうが楽だ。

この章は我ながらなかなか便利なものができたぞ，たいしたもんなのは Maxima だけど。

(%i10)

load(draw)$

(%i11)

f:x^3-3*x$

(%i12)

a:-3$

(%i13)

draw(delay = 100,file_name = "zzz",
terminal = 'animated_gif,
    gr2d(yrange = [-3.5,3.5],
        label([sconcat("a=",a),1,0.3]),
        explicit(f,x,-3,3),xaxis = true,
        explicit(a,x,-3,3),xaxis = true
        ),
    gr2d(yrange = [-3.5,3.5],
        label([sconcat("a=",a+1),1,0.3]),
        explicit(f,x,-3,3),xaxis = true,
        explicit(a+1,x,-3,3),xaxis = true
        ),
    gr2d(yrange = [-3.5,3.5],
        label([sconcat("a=",a+2),1,0.3]),
        explicit(f,x,-3,3),xaxis = true,
        explicit(a+2,x,-3,3),xaxis = true
        ),
    gr2d(yrange = [-3.5,3.5],
        label([sconcat("a=",a+3),1,0.3]),
        explicit(f,x,-3,3),xaxis = true,
        explicit(a+3,x,-3,3),xaxis = true
        ),
    gr2d(yrange = [-3.5,3.5],
        label([sconcat("a=",a+4),1,0.3]),
        explicit(f,x,-3,3),xaxis = true,
        explicit(a+4,x,-3,3),xaxis = true
        ),
    gr2d(yrange = [-3.5,3.5],
        label([sconcat("a=",a+5),1,0.3]),
        explicit(f,x,-3,3),xaxis = true,
        explicit(a+5,x,-3,3),xaxis = true
        ),
    gr2d(yrange = [-3.5,3.5],
        label([sconcat("a=",a+6),1,0.3]),
        explicit(f,x,-3,3),xaxis = true,
        explicit(a+6,x,-3,3),xaxis = true
        )
)$

(%i14)

apply(draw, append([terminal=animated_gif, delay=50],
makelist(gr2d(title = "constant separation",
xrange = [-3,3],
yrange = [-3.5,3.5],
label(["y=x^3-3*x",-1.5,-2.5]),
label(["y=a",2.5,a+0.1]),
label([sconcat("a=",a),1,0.3]),
label([sconcat("solution:",
if abs(a)>2 then "1" elseif abs(a)=2 then "2" else "3"),-1,-0.3]),
explicit(x^3-3*x,x,-3,3),xaxis = true,yaxis=true,
explicit(a,x,-3,3),xaxis = true,yaxis=true
),a,-3,3)
)
)$

(%i15)

load(draw)$

(%i16)

with_slider_draw(
    k,makelist(i,i,1,7),
    proportional_axes = xy,
    xrange = [-3,3],
    yrange = [-4,4],
    xaxis=true,
    yaxis=true,
    title = "定数分離法" ,
    label([sconcat("k=",k-4),1,2]),
    explicit(k-4,x,-3,3),
    explicit(x^3-3*x,x,-3,3)
);

\[(\%t16)\] Animated Diagram

\[(\%o16)\]

3 積分法

\[例題１　次を積分せよ。\\
(1)　f(x)=(x+1)(2x-1)\hspace{1cm} (2)　\int_{0}^{3}(x-2)^2dx\hspace{1cm} (3)　\int_{0}^{3}|x(x-2)|dx\] \[例題２　グラフ上の各点(x,y)における接線の傾きが 3x^2-4xで点(1,5)を通る関数を求めよ。\] 絶対値の積分はしてくれないので，定積分の数値計算（rombergという人？が作ったマクロ）
　グラフを見て，正の範囲を積分するということでいいでしょう。
微分したものが f で，(a,b)を通る曲線の方程式を求めるマクロ。

(%i17)

integrate((x+1)*(2*x-1), x);

\[(\%o17)\frac{4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-6x}{6}\]

(%i18)

integrate((x-2)^2, x, 0, 3);

\[(\%o18)3\]

(%i19)

f:x*(x-2)$

(%i20)

romberg(abs(f), x, 0, 3);

\[(\%o20)2.6666691003945\]

(%i21)

wxplot2d([abs(f)], [x,0,3])$

\[(\%t21)\] (Graphics)

(%i22)

integrate(-f,x,0,2)+integrate(f,x,2,3);

\[(\%o22)\frac{8}{3}\]

(%i23)

curve(a,b,f):=block(
f(x):=f,
c:b-subst(a,x,integrate(f(x),x)),
return(integrate(f(x),x)+c)
)$

(%i24)

curve(1,5,3*x^2-4*x);

\[(\%o24){{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+6\]

\[例題３　等式　f(x)=4x+3\int_{0}^{1}f(t)dtを満たす関数f(x)を求めよ。\\
例題４　次の等式を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。\\
\int_{a}^{x}f(t)dt=3x^2-4x+1\\
例題５　２つの放物線　y=x^2-2x,y=-x^2+4で囲まれた図形の面積を求めよ。\]
積分区間が定数のものは積分それ自身を定数と置く。
微積分の基本定理をそのままやらしてみました。
a から x まで積分した関数がわかって，元の関数と a を求めるマクロです，Newton に敬意を表して。
面積はまずグラフをかいて，上の式から下の式を引いて交点から交点で積分する（交点が２つのときのみです）。

(%i25)

kill(all)$

(%i1)

solve(integrate(4*x+3*k,x,0,1)=k,k);

\[(\%o1)[k=-1]\]

(%i2)

newton(f):=block(
f(x):=f,
print(diff(f,x)),
solve(subst(a,x,f)=0,a)
)$

(%i3)

newton(3*x^2-4*x+1);

\[6x-4 \] \[(\%o3)[a=1,a=\frac{1}{3}]\]

(%i4)

area(f,g):=block(
a:ev(x,solve(f=g,x)[1]),b:ev(x,solve(f=g,x)[2]),
if a>b then (c:a,a:b,b:c),
integrate(f-g,x,a,b)
)$

(%i5)

wxplot2d([x^2-2*x,-x^2+4], [x,-2,3])$

\[(\%t5)\] (Graphics)

(%i6)

area(-x^2+4,x^2-2*x);

\[(\%o6)9\]

微分と積分（calculus）

1 微分係数と導関数

平均変化率：average rate of change
　averageはアラブ語（damaged merchandiseの意）から;
　損害を所有主が平均して分担したことから，なんだってよ。
瞬間速度：instantaneous velocity
　インスタントはラーメンが最初かな。
極限値：limit（value）
収束する：converge
微分係数：derivative　derive（導く）から
　river（川）から導くへ，rivalも同じ川を争うからきているという
　接線とか接点は２次関数で既出。
導関数：derivation
増分：increment
微分する：differentiate　be different from（違い）から
定数関数：constant function

さあ，微分積分だ！calculusは計算という意味だが微積の計算にも使う。
微積は計算なんだよな。計算の元は石。

2 導関数の応用

区間：interval
増減表：increase and decrease
極大，極大値：local(relative) maximum
極小，極小値：local(relative) minimum
極値：extremum

3 積分法

原始関数：primitive function 最初がprime
不定積分：indefinite integral
　inがnot，tegがtouch　つまりアンタッチャブル　触れられないほど完全なということらしい
積分定数：integration constant
積分する：integrate
定積分：definite integral
上端，下端：upper(lower)limit
奇関数，偶関数：odd(even)function
　odd 古期北欧語「三角形」の意から(三角形の頂点が奇数であることから)
　even 二人にとって平等なとかいうイメージがあるようだ

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