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$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} $

指数関数（exponential function）と対数関数（logarithmic function）

1 指数の拡張・指数関数

\[例題１　3つの数　2\sqrt{2},\sqrt[3]{32},\sqrt[4]{32}の大小を比較せよ。\] \[例題２　方程式　4^{2x}=2^{x-6}を解け。\]

2 対数とその性質・対数関数・常用対数

\[例題１　\log_{2}{24}-\log_{4}36を計算せよ。\] \[例題２　\log_{10}2=p,\log_{10}3=qとするとき，次の式の値をp,q で表わせ。\\
(1) \log_{10}3\sqrt{2} \hspace{2cm} (2)\log_{10}5 \] \[例題３　方程式　\log_{2}(x-2)+\log_{2}(x-9)=3　を解け。\] \[例題４　2^{30}の桁数を求めよ。\] \[例題５　関数　y=(\log_{3}x)^2-4\log_{3}x+3(1\le x \le 27)\\
の最大値と最小値を求めよ。\]

底が2で1より大きいので，指数の大小が値の大小。
指数方程式も対数方程式も，この程度だと，すらすらです。
simplify は式簡略化
桁というのは，10を何回かけるか（0がいくつあるか）で，先頭に（+1）1。
もちろん二次関数に直す問題ですが。

Maximaでは，数値を文字に代入するというトリッキーな方法が使えたが（下），Geogebraでは使えない。
ExpandとSimplifyを使って比べるしかないかな。

指数関数（exponential function）と対数関数（logarithmic function）

1 指数の拡張・指数関数

指数方程式は対数方程式よりMaximaにはあってないように感じる。
と思ったが，オプション solveradcan というものを true にすると，
遅いけれども指数対数に含まれるある種の問題を解くとHelpにある。
プログラミング的なことを除けば，どうもGeogebraのCASほうが優秀です。

(%i1)

big(a,b,c):=block(
if a<=b then (d:a,a:b,b:d),
if c>a then return([c,a,b]) else if c>b then return([a,c,b])
else return([a,b,c])
)$

(%i2)

big(2*sqrt(2),32^(1/3),32^(1/4));

\[(\%o2)[2{{4}^{\frac{1}{3}}},{{2}^{\frac{3}{2}}},{{2}^{\frac{5}{4}}}]\]

(%i3)

solve(4^(2*x)=2^(x-6));

\[(\%o3)[{{4}^{x}}=-{{2}^{\frac{x-6}{2}}},{{4}^{x}}={{2}^{\frac{x-6}{2}}}]\]

(%i4)

solve(log(4^(2*x))=log(2^(x-6)));

\[(\%o4)[x=-\frac{6\log{(2)}}{2\log{(4)}-\log{(2)}}]\]

(%i5)

radcan(%);

\[(\%o5)[x=-2]\]

(%i6)

solveradcan:true;

\[\tag{solveradcan}\label{solveradcan}\mbox{true}\]

(%i7)

solve(4^(2*x)=2^(x-6));

\[(\%o7)[x=\frac{\log{\left( -\sqrt{3}\%{}i-1\right) }-3\log{(2)}}{\log{(2)}},x=\frac{\log{\left( \sqrt{3}\%{}i-1\right) }-3\log{(2)}}{\log{(2)}},x=-2,{{2}^{x}}=0]\]

2 対数とその性質・対数関数・常用対数

\[例題１　\log_{2}{24}-\log_{4}36を計算せよ。\] logcontract という命令がまとめる命令。

(%i8)

Log(a,b):=radcan(log(b)/log(a))$

(%i9)

L:Log(2,24)-Log(4,36);

\[\tag{L}\label{L}\frac{\log{(3)}+3\log{(2)}}{\log{(2)}}-\frac{\log{(3)}+\log{(2)}}{\log{(2)}}\]

(%i10)

ratsimp(%);

\[(\%o10)2\]

(%i11)

logcontract(L);

\[(\%o11)2\]

\[例題２　\log_{10}2=p,\log_{10}3=qとするとき，次の式の値をp,q で表わせ。\\
(1) \log_{10}3\sqrt{2} \hspace{2cm} (2)\log_{10}5 \]
この解法は，ちょっと，ずるっぽいけど

(%i12)

Log(10,3*sqrt(2));

\[(\%o12)\frac{2\log{(3)}+\log{(2)}}{2\log{(5)}+2\log{(2)}}\]

(%i13)

subst(1-p,log(5),subst(q,log(3),subst(p,log(2),%)));

\[(\%o13)\frac{2q+p}{2p+2\left( 1-p\right) }\]

(%i14)

ratsimp(%);

\[(\%o14)\frac{2q+p}{2}\]

(%i15)

Log(10,5);

\[(\%o15)\frac{\log{(5)}}{\log{(5)}+\log{(2)}}\]

(%i16)

subst(1-p,log(5),subst(q,log(3),subst(p,log(2),%)));

\[(\%o16)1-p\]

\[例題３　方程式　\log_{2}(x-2)+\log_{2}(x-9)=3　を解け。\]
対数方程式も簡単にはいきませんね。真数条件で解を絞り込んで，

(%i17)

solve(Log(2,x-2)+Log(2,x-9)=3,x);

\[(\%o17)[\log{\left( x-2\right) }=3\log{(2)}-\log{\left( x-9\right) }]\]

(%i18)

l:logcontract(%);

\[\tag{l}\label{l}[\log{\left( x-2\right) }=\log{\left( \frac{8}{x-9}\right) }]\]

(%i19)

solve(%e^lhs(l[1])=%e^rhs(l[1]),x);

\[(\%o19)[x=10,x=1]\]

\[例題４　2^{30}の桁数を求めよ。\\
例題５　関数　y=(\log_{3}x)^2-4\log_{3}x+3(1\le x \le 27)\\
の最大値と最小値を求めよ。\]
桁数を返すマクロを作りました。
例題５はもちろん2次関数に直すのが解答ですが。

(%i20)

keta(x):=floor(log(x)/log(10))+1$

(%i21)

keta(2^30);

\[(\%o21)10\]

(%i22)

wxplot2d([(Log(3,x))^2-4*(Log(3,x))+3],[x,1,27]);

\[(\%t22)\] (Graphics)

\[(\%o22)\]

指数関数（exponential function）と対数関数（logarithmic function）

1 指数の拡張・指数関数

指数関数：exponential function エキスポが博覧会で同源
底：base 基礎
累乗根：root of power,radical根本的ということでしょう，radishは二十日大根
ｎ乗根は n-th root （square root，cube root）だから，ｎ乗ルートとでも読みましょう。
増加関数，減少関数：increasing,decreasing function
漸近線：asymptotic lineこいつの語源はわからない

2 対数とその性質・対数関数・常用対数

対数： logarithm　ローにアクセントがある。
　logos真実の言葉ですか，対数（対応する数？）じゃ，弱いです。
　真数と対数が逆になればいいのに。
真数：anti-logarithm
対数関数：logarithmic function　リにアクセントがある。
常用対数：common logarithm　ちなみに自然対数は natural logarith
　星の等級と対数の話が教科書にはあるが，刺激と人間の感覚には対数の関係があるという，
　フェヒナーの法則が面白そうです。

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