\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

指数関数(exponential function)と対数関数(logarithmic function)

1 指数の拡張・指数関数

指数関数:exponential function エキスポが博覧会で同源
底:base 基礎
累乗根:root of power,radical根本的ということでしょう,radishは二十日大根
n乗根は n-th root (square root,cube root)だから,n乗ルートとでも読みましょう。
増加関数,減少関数:increasing,decreasing function
漸近線:asymptotic lineこいつの語源はわからない
\[例題1 3つの数 2\sqrt{2},\sqrt[3]{32},\sqrt[4]{32}の大小を比較せよ。\\
例題2 方程式 4^{2x}=2^{x-6}を解け。\]
指数方程式は対数方程式よりMaximaにはあってないように感じる。
と思ったが,オプション solveradcan というものを true にすると,
 遅いけれども指数対数に含まれるある種の問題を解くとHelpにある。
プログラミング的なことを除けば,どうもGeogebraのCASほうが優秀です。
下の問題も含めてGeogebraでの解き方を先に示す。

図 1: C
Diagram
(%i1) big(a,b,c):=block(
if a<=b then (d:a,a:b,b:d),
if c>a then return([c,a,b]) else if c>b then return([a,c,b])
else return([a,b,c])
)$
(%i2) big(2*sqrt(2),32^(1/3),32^(1/4));
\[(\%o2)[2{{4}^{\frac{1}{3}}},{{2}^{\frac{3}{2}}},{{2}^{\frac{5}{4}}}]\]
(%i3) solve(4^(2*x)=2^(x-6));
\[(\%o3)[{{4}^{x}}=-{{2}^{\frac{x-6}{2}}},{{4}^{x}}={{2}^{\frac{x-6}{2}}}]\]
(%i4) solve(log(4^(2*x))=log(2^(x-6)));
\[(\%o4)[x=-\frac{6\log{(2)}}{2\log{(4)}-\log{(2)}}]\]
(%i5) radcan(%);
\[(\%o5)[x=-2]\]
(%i6) solveradcan:true;
\[\tag{solveradcan}\label{solveradcan}\mbox{true}\]
(%i7) solve(4^(2*x)=2^(x-6));
\[(\%o7)[x=\frac{\log{\left( -\sqrt{3}\%{}i-1\right) }-3\log{(2)}}{\log{(2)}},x=\frac{\log{\left( \sqrt{3}\%{}i-1\right) }-3\log{(2)}}{\log{(2)}},x=-2,{{2}^{x}}=0]\]

2 対数とその性質・対数関数・常用対数

対数: logarithm ローにアクセントがある。
 logos真実の言葉ですか,対数(対応する数?)じゃ,弱いです。
 真数と対数が逆になればいいのに。
真数:anti-logarithm
対数関数:logarithmic function リにアクセントがある。
常用対数:common logarithm ちなみに自然対数は natural logarith
 星の等級と対数の話が教科書にはあるが,刺激と人間の感覚には対数の関係があるという,
 フェヒナーの法則が面白そうです。
\[例題1 \log_{2}{24}-\log_{4}36を計算せよ。\]
logcontract という命令がまとめる命令。

(%i8) Log(a,b):=radcan(log(b)/log(a))$
(%i9) L:Log(2,24)-Log(4,36);
\[\tag{L}\label{L}\frac{\log{(3)}+3\log{(2)}}{\log{(2)}}-\frac{\log{(3)}+\log{(2)}}{\log{(2)}}\]
(%i10) ratsimp(%);
\[(\%o10)2\]
(%i11) logcontract(L);
\[(\%o11)2\]

\[例題2 \log_{10}2=p,\log_{10}3=qとするとき,次の式の値をp,q で表わせ。\\
   (1) \log_{10}3\sqrt{2} \hspace{2cm}  (2)\log_{10}5 \]
この解法は,ちょっと,ずるっぽいけど

(%i12) Log(10,3*sqrt(2));
\[(\%o12)\frac{2\log{(3)}+\log{(2)}}{2\log{(5)}+2\log{(2)}}\]
(%i13) subst(1-p,log(5),subst(q,log(3),subst(p,log(2),%)));
\[(\%o13)\frac{2q+p}{2p+2\left( 1-p\right) }\]
(%i14) ratsimp(%);
\[(\%o14)\frac{2q+p}{2}\]
(%i15) Log(10,5);
\[(\%o15)\frac{\log{(5)}}{\log{(5)}+\log{(2)}}\]
(%i16) subst(1-p,log(5),subst(q,log(3),subst(p,log(2),%)));
\[(\%o16)1-p\]

\[例題3 方程式 \log_{2}(x-2)+\log_{2}(x-9)=3 を解け。\]
対数方程式も簡単にはいきませんね。真数条件で解を絞り込んで,

(%i17) solve(Log(2,x-2)+Log(2,x-9)=3,x);
\[(\%o17)[\log{\left( x-2\right) }=3\log{(2)}-\log{\left( x-9\right) }]\]
(%i18) l:logcontract(%);
\[\tag{l}\label{l}[\log{\left( x-2\right) }=\log{\left( \frac{8}{x-9}\right) }]\]
(%i19) solve(%e^lhs(l[1])=%e^rhs(l[1]),x);
\[(\%o19)[x=10,x=1]\]

\[例題4 2^{30}の桁数を求めよ。\\
   例題5 関数 y=(\log_{3}x)^2-4\log_{3}x+3(1\le x \le 27)\\
の最大値と最小値を求めよ。\]
桁数を返すマクロを作りました。
例題5はもちろん2次関数に直すのが解答ですが。

(%i20) keta(x):=floor(log(x)/log(10))+1$
(%i21) keta(2^30);
\[(\%o21)10\]
(%i22) wxplot2d([(Log(3,x))^2-4*(Log(3,x))+3],[x,1,27]);
\[(\%t22)\]  (Graphics)
\[(\%o22)\]
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