\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

三角関数(Trigonometric Function)

1 三角関数

動径:radius 半径と同じだ。始線:initial line
一般角:general angle
弧度法:method of circular measure
正弦曲線:sine curve
漸近線:asymptotic line
周期関数:period function
 ラテン語「ひとまわりの道」からだって,最近はピリオド(ある時代の)楽器というほうが有名になりつつある?
偶関数:even function
奇関数:odd function

\[例題1 \thetaが第3象限の角で,\cos\theta=-\frac{3}{5}のとき,\sin\theta,\tan\thetaの値を求めよ。\\
例題2 \sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}のとき,\sin\theta\cos\theta,\sin^3\theta+\cos^3\thetaの値を求めよ。\\
例題3 等式 \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}=\frac{2}{\cos\theta} を証明せよ。\\
例題4 0\le\theta<2\piのとき,\sin(2\theta-\frac{\pi}{3})\le -\frac{1}{2}を満たす値の範囲を求めよ。\]

図 1:
Diagram
(%i2) -sin(a:acos(3/5));tan(a);
\[(\%o1)-\frac{4}{5}\] \[(\%o2)\frac{4}{3}\]
(%i3) l:solve([s^2+c^2=1,s+c=1/2],[s,c])[1];
\[\tag{l}\label{l}[s=-\frac{\sqrt{7}-1}{4},c=\frac{\sqrt{7}+1}{4}]\]
(%i5) expand(subst(l,s*c)); expand(subst(l,s^3+c^3));
\[(\%o4)-\frac{3}{8}\] \[(\%o5)\frac{11}{16}\]
(%i6) trigrat(cos(x)/(1+sin(x))+cos(x)/(1-sin(x)));
\[(\%o6)\frac{2}{\cos{(x)}}\]
(%i7) solve(sin(2*x-%pi/3)=-1/2,x);
\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\] \[(\%o7)[x=\frac{\ensuremath{\pi} }{12}]\]
(%i8) wxplot2d([sin(2*x-%pi/3),-1/2], [x,0,2*%pi])$
\[(\%t8)\]  (Graphics)

図 2:
Diagram

\[グラフと方程式の解から,0\le\theta\le\frac{\pi}{12}, \frac{3}{4}\pi\le\theta\le\frac{13}{12}\pi,\frac{7}{4}\pi\le\theta<2\pi\]

2 加法定理

加法定理:addition theorem
2倍角の公式:double angle fomula
半角の公式:half angle formula
合成:合成は compose だけど

\[例題1 \cos\alpha=\frac{3}{5},\sin\beta=\frac{15}{17}のとき,\sin(\alpha+\beta)の値を求めよ。\\
   ただし,\alpha は第一象限,\betaは第2象限の角とする。\\
   例題2 2直線 y=-2x+5,y=3x-2のなす角を求めよ。\]
 加法定理はtrigexpand()で展開する。

図 3:
Diagram
(%i11) a:acos(3/5)$b:%pi-asin(15/17)$trigexpand(sin(a+b));
\[(\%o11)\frac{13}{85}\]
(%i14) c:atan(-2)$d:atan(3)$atan(trigexpand(tan(c-d)));
\[(\%o14)\frac{\ensuremath{\pi} }{4}\]

\[例題3 0\le\theta<2\piのとき,次の方程式を満たす\thetaの値を求めよ。\\
   \cos2\theta+3\cos\theta+2=0\]

(%i15) trigexpand(cos(2*x)+3*cos(x)+2);
\[(\%o15)-{{\sin{(x)}}^{2}}+{{\cos{(x)}}^{2}}+3\cos{(x)}+2\]
(%i16) trigsimp(%);
\[(\%o16)2{{\cos{(x)}}^{2}}+3\cos{(x)}+1\]
(%i17) solve(%,x);
\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\] \[(\%o17)[x=\frac{2\ensuremath{\pi} }{3},x=\ensuremath{\pi} ]\]

\[例題4 0\le x<2\piのとき,次の関数の最大値と最小値を求めよ。また,そのときのxの値を求めよ。y=\cos 2x−2\sin x\]
グラフはそのままかけば下のようになるが,最大値最小値を求めるなら,置き換えをして楽な関数にしたほうがいい。
これもGeogebraはすごいです。

図 4:
Diagram
(%i18) f(x):=cos(2*x)-2*sin(x)$
(%i19) wxplot2d([f(x)],[x,0,2*%pi])$
\[(\%t19)\]  (Graphics)
(%i20) trigsimp(trigexpand(f(x)));
\[(\%o20)-2\sin{(x)}+2{{\cos{(x)}}^{2}}-1\]
(%i21) wxplot2d([-2*x+2*(1-x^2)-1], [x,-1,1])$
\[(\%t21)\]  (Graphics)

\[例題5 \frac{\pi}{2}<\alpha<\piで \sin\alpha=\frac{3}{5}のとき,\sin\frac{\alpha}{2}の値を求めよ。\]
halfangles:true というのは,半角の整理をするということらしい。

(%i22) halfangles:true$
(%i23) trigexpand(sin((%pi-asin(3/5))/2));
\[\mbox{}\\\mbox{WARNING: redefining MAXIMA::SIMP-UNIT-STEP in DEFUN}\mbox{}\\\mbox{WARNING: redefining MAXIMA::SIMP-POCHHAMMER in DEFUN}\] \[(\%o23)\frac{3}{\sqrt{10}}\]

\[例題6 関数 y=\sin x-\sqrt{3}\cos xの最大値と最小値を求めよ。\\
例題7 0\le\theta<2\piのとき,次の方程式を満たす\thetaの値を求めよ。\\
\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=\sqrt{3}\]
合成は関数を作りました。Maximaは合成しないと方程式解いてくれない。
ここでもGeogebraのほうが簡単。

図 5:
Diagram
(%i24) wxplot2d([sin(x)-sqrt(3)*cos(x),sqrt(3)],[x,0,2*%pi])$
\[(\%t24)\]  (Graphics)
(%i25) gousei(a,b):=block(
r:sqrt(a^2+b^2),c:asin(b/r),return(r*sin(x+c))
)$
(%i26) gousei(1,-sqrt(3));
\[(\%o26)2\sin{\left( x-\frac{\ensuremath{\pi} }{3}\right) }\]
(%i27) solve(sin(x)-sqrt(3)*cos(x)=sqrt(3),x);
\[(\%o27)[\sin{(x)}=\sqrt{3}\,\cos{(x)}+\sqrt{3}]\]
(%i28) solve(gousei(1,-sqrt(3))=sqrt(3),x);
\[\mbox{}\\\mbox{solve: using arc-trig functions to get a solution.}\mbox{}\\\mbox{Some solutions will be lost.}\] \[(\%o28)[x=\frac{2\ensuremath{\pi} }{3}]\]


Created with wxMaxima. inserted by FC2 system