\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \)

複素数と方程式(Complexnumber and Equation)

1 複素数(Complex number)

複素数:complex number 虚数単位:imaginary unit 実部 :real part 虚部:imaginary part  虚数:imaginary number 純虚数:purely imaginary number 共役な複素数:conjugate
虚数単位は Maxima では %i(ちなみに%piはパイ、%eは自然対数の底)  分母の実数化もやっときましょう。rectformは直行形式rectangleform の意味 \[例題 (1)\sqrt{-8}\sqrt{-6} \hspace{2cm}  (2) \frac{3+i}{1+2i}\] Geogebraで計算できるものをまず。

図 1:
Diagram
(%i1) sqrt(-8)*sqrt(-6);
\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad -{{2}^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{6}\]
(%i2) rootscontract(%);
\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad -4\cdot \sqrt{3}\]
(%i3) (3+%i)/(1+2*%i);
\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad \frac{\%i+3}{2\cdot \%i+1}\]
(%i4) %,rectform;
\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad 1-\%i\]

2 2次方程式の解と判別式

重解:multiple solution 判別式:discriminant \[例題 4x^2+3x+2=0 を解け。\]

(%i5) solve(4*x^2+3*x+2=0,x);
\[\mathrm{\tt (\%o5) }\quad [x=-\frac{\sqrt{23}\cdot \%i+3}{8},x=\frac{\sqrt{23}\cdot \%i-3}{8}]\]

3 解と係数の関係

解と係数の関係:Newton's relations(マスマティカのページにこうある) \[例題 2x^2+8x+3=0 の解を\alpha,\beta としたとき,    \alpha^2+\beta^2,\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}の値を求めよ。\] 解と係数の関係については,解を使用して計算させればいいのですが,次のようにもできます。 対称式を基本対称式で表わす方法は,前に作ったマクロで

(%i6) kais(a,b,c,f):=block(
l:solve(a*x^2+b*x+c,x),
ratsimp(ev(f,[p=ev(rhs(l[1])),q=ev(rhs(l[2]))]))
)$
(%i7) kais(2,8,3,p^2+q^2);
\[\mathrm{\tt (\%o7) }\quad 13\]
(%i8) kais(2,8,3,1/p+1/q);
\[\mathrm{\tt (\%o8) }\quad -\frac{8}{3}\]
(%i9) solve([a+b=-4,a*b=3/2,a^2+b^2=x,1/a+1/b=y],[x,y,a,b]);
\[\mathrm{\tt (\%o9) }\quad [[x=13,y=-\frac{8}{3},a=-\frac{\sqrt{10}+4}{2},b=-\frac{3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}+12}{{{2}^{\frac{7}{2}}}\cdot \sqrt{5}+26}],[x=13,y=-\frac{8}{3},a=\frac{\sqrt{10}-4}{2},b=-\frac{3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}-12}{{{2}^{\frac{7}{2}}}\cdot \sqrt{5}-26}]]\]
(%i10) kais2(p,q,f):=block(
l:solve([a+b=p,a*b=q,f=x],[x,a,b]),
return(l[1][1])
)$
(%i11) kais2(-4,3/2,a^2+b^2);
\[\mathrm{\tt (\%o11) }\quad x=13\]
(%i12) kais2(-4,3/2,1/a+1/b);
\[\mathrm{\tt (\%o12) }\quad x=-\frac{8}{3}\]
(%i13) sym2(s,t,eq):=block(
rhs(solve(eliminate([x+y-s,x*y-t,c=eq],[x,y]),c)[1])
)$
(%i14) sym2(s,t,x^2+y^2);
\[\mathrm{\tt (\%o14) }\quad {{s}^{2}}-2\cdot t\]

\[例題  2次方程式 8x^2-mx+1=0 の1つの解が他の解の2倍となるように,    定数mの値を定めよ。\]

(%i15) solve([a+b=m/8,a*b=1/8,a=2*b],[a,b,m]);
\[\mathrm{\tt (\%o15) }\quad [[a=-\frac{1}{2},b=-\frac{1}{4},m=-6],[a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4},m=6]]\]

\[例題 2次式 2x^2-3x+2 を複素数の範囲で因数分解せよ。 \] 解けばいいわけですけど,Maximaには因数分解にオプシオンがあって,そいつを使えば。 factor (expr, p) factors expr over the field of rationals with an element adjoined whose minimum polynomial is p.

(%i16) factor2(f):=block(
g:subst(a,x,f),
print(solve(g,a)),
factor(f,g)
)$
(%i17) factor2(2*x^2-3*x+2);
\[[a=-\frac{\sqrt{7}\cdot \%i-3}{4},a=\frac{\sqrt{7}\cdot \%i+3}{4}]\] \[\mathrm{\tt (\%o17) }\quad \frac{\left( 2\cdot x-2\cdot a\right) \cdot \left( 2\cdot x+2\cdot a-3\right) }{2}\]

\[例題 2次方程式 x^2-2x+7=0  の2つの解を \alpha,\beta とするとき,    \alpha+2,\beta+2 を解とする2次方程式の1つを求めよ。\] 例題は次のようにもできるし、こっちの方が楽です。 解の変換(+2)の問題として、変換を元に戻す(-2)と前の方程式を満たすと考えます。

(%i18) solve([a+b=2,a*b=7,p=a+2+b+2,q=(a+2)*(b+2)],[p,q,a,b]);
\[\mathrm{\tt (\%o18) }\quad [[p=6,q=15,a=1-\sqrt{6}\cdot \%i,b=-\frac{{{2}^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i+9}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i-3}],[p=6,q=15,a=\sqrt{6}\cdot \%i+1,b=-\frac{{{2}^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i-9}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i+3}]]\]
(%i19) f(x):=x^2-2*x+7$
(%i20) expand(f(x-2));
\[\mathrm{\tt (\%o20) }\quad {{x}^{2}}-6\cdot x+15\]

\[例題 2次方程式 x^2-mx-m+3=0     が異なる2つの正の解をもつとき,定数mの値の範囲を求めよ。\] 2次関数でやってあります。

(%i21) load(fourier_elim)$
(%i22) vertex(a,b,c):=[-b/2/a,-(b^2-4*a*c)/a/4]$
(%i23) po2(a,b,c):=block(
   fourier_elim([vertex(a,b,c)[1]>0,vertex(a,b,c)[2]<0,c>0],[m])
)$
(%i24) po2(1,-m,-m+3);
\[\mathrm{\tt (\%o24) }\quad [2<m,m<3]\]

4 剰余の定理と因数定理

因数定理:factor theorem 剰余の定理:remainder theorem \[例題 整式 P(x) を x-2 で割ると4余り,x+3 で割ると-11余る。\\     P(x)を (x-2)(x+3) で割ったときの余りを求めよ。\] 残念ながらchinese(中国剰余定理)は整数のみのようだ。 マクロを作る気にはちょっとなれないので, 教科書にはない合同法の解法を示してみるか。 \[P(x)\equiv 4(\mod x-2),P(x)\equiv -11(\mod x+3)より\\    以下 \mod (x-2)(x+3) で \\    (x+3)P(x)\equiv 4(x+3),(x-2)P(x)\equiv -11(x-2)を辺々引いて\\    5P(x) \equiv 4(x+3)+11(x-2)=15x-10\\    よって P(x) \equiv 3x-2\]

(%i25) chinese([4,-11],[x-2,x+3]);
\[\mathrm{\tt (\%o25) }\quad \mathrm{chinese}\left( [4,-11],[x-2,x+3]\right) \]

5 高次方程式(higher degree equation)

3乗根,立方根:cubic root 代数学の基本定理:fundamental theorem of algebra \[例題 方程式 x^4-x^3-3x^2+x+2=0 を解け。\]

(%i26) solve(x^4-x^3-3*x^2+x+2,x);
\[\mathrm{\tt (\%o26) }\quad [x=1,x=2,x=-1]\]

\[例題 x=1+\sqrt{2}i が方程式 x^3+ax+b=0 の解であるとき,    実数a,bの値と他の解を求めよ。\] realpart と imagpart は実部と虚部。こんなマクロ使わないか。

(%i27) eq3(p,f):=block(
g(x):=ev(f),
g1:realpart(g(p)),
g2:imagpart(g(p)),
s:solve([g1,g2],[a,b]),
print(s),
solve(ev(f,s[1]),x)
)$
(%i28) eq3(1+sqrt(2)*%i,x^3+a*x+b);
\[[[a=-1,b=6]]\] \[\mathrm{\tt (\%o28) }\quad [x=1-\sqrt{2}\cdot \%i,x=\sqrt{2}\cdot \%i+1,x=-2]\]

\[例題 3次方程式 x^3-5x^2+3x+1=0の3つの解を\alpha,\beta,\gammaとするとき,    次の値を求めよ。\\    (1)\alpha^2+\beta^2+\gamma^2        (2)\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\] 最後は3次の解と係数の関係,上のマクロを少し変えて, \[a+b,ab+bc+ca,abc  の値と求めたい対称式を入力する。\] 対称式を基本対称式で表したいなら前に作ったマクロを使って

(%i29) kais3(p,q,r,f):=block(
l:solve([a+b+c=p,a*b+b*c+c*a=q,a*b*c=r,f=x],[x,a,b,c]),
return(l[1][1])
)$
(%i30) kais3(5,3,-1,a^2+b^2+c^2);
\[\mathrm{\tt (\%o30) }\quad x=19\]
(%i31) kais3(5,3,-1,1/a+1/b+1/c);
\[\mathrm{\tt (\%o31) }\quad x=-3\]
(%i32) kill(all);
\[\mathrm{\tt (\%o0) }\quad \mathit{done}\]
(%i1) sym3(s,t,u,eq):=block(
rhs(solve(eliminate([x+y+z-s,x*y+y*z+z*x-t,x*y*z-u,c=eq],[x,y,z]),c)[1])
)$
(%i2) sym3(s,t,u,x^2+y^2+z^2);
\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad {{s}^{2}}-2\cdot t\]
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