2-2

$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} $

複素数と方程式（Complexnumber and Equation）

1 複素数（Complex number)

\[例題　(1)\sqrt{-8}\sqrt{-6} \hspace{2cm} (2) \frac{3+i}{1+2i}\]

2 2次方程式の解と判別式

\[例題　4x^2+3x+2=0 を解け。\] \[例題　2次式　2x^2-3x+2　を複素数の範囲で因数分解せよ。 \] 注意　虚数単位は，Alt＋i
Solve は実数解，CSolveはComplexSolve
Factor は有理数の範囲，CFactor は有理数係数の複素数の範囲，
CIfactor が無理数係数も含む複素数の範囲

3 解と係数の関係

\[例題　2x^2+8x+3=0 の解を\alpha,\beta としたとき， \alpha^2+\beta^2,\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}の値を求めよ。\]

方程式の解はリストで還ってくるので，
l1という名前を付けて，l1(1)はその最初の要素
等式の右辺だけの数値をとりだすのが，RightSide

「方程式を解け（Solve）」というのと「方程式の解を求めよ（Solutins）」というのは違う，と言って「方程式を解け」の解に[x=]がなかったら減点なんて言っても，生徒は，ちんぷんかんぷんなんだろうな。
方程式の解を後に使うとなれば，Solutionsの方がいい。
一方，解と係数の関係を知っていれば，下のようにGeogebraも1行ですむ。簡単。
\[例題　 2次方程式　8x^2-mx+1=0 の1つの解が他の解の2倍となるように，定数mの値を定めよ。\] \[例題　2次方程式　x^2-2x+7=0　の2つの解を \alpha,\beta とするとき， \alpha+2,\beta+2 を解とする2次方程式の1つを求めよ。\] \[例題　2次方程式　x^2-mx-m+3=0　が異なる2つの正の解をもつとき，定数mの値の範囲を求めよ。\]

解と係数の関係を利用した解答です（よけいな解も出るけれど）。
\[解が\alpha+2,\beta+2 という問題は，グラフを考えれば右に2平行移動ですむ。\]

4 剰余の定理と因数定理

\[例題　整式　P(x)　を　x-2　で割ると4余り，x+3　で割ると-11余る。\\ 　P(x)を　(x-2)(x+3)　で割ったときの余りを求めよ。\] 教科書にはない合同法の解法を示してみるか。 \[P(x)\equiv 4(\mod x-2),P(x)\equiv -11(\mod x+3)より\\ 以下　\mod (x-2)(x+3)　で　\\ (x+3)P(x)\equiv 4(x+3),(x-2)P(x)\equiv -11(x-2)を辺々引いて\\ 5P(x) \equiv 4(x+3)+11(x-2)=15x-10\\ よって　P(x) \equiv 3x-2\]

5 高次方程式(higher degree equation)

\[例題　方程式　x^4-x^3-3x^2+x+2=0　を解け。\] \[例題　x=1+\sqrt{2}i　が方程式　x^3+ax+b=0　の解であるとき，実数a,bの値と他の解を求めよ。\]

\[例題　3次方程式　x^3-5x^2+3x+1=0の3つの解を\alpha,\beta,\gammaとするとき，次の値を求めよ。\\ (1)\alpha^2+\beta^2+\gamma^2　　　　 (2)\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\]

複素数と方程式（Complexnumber and Equation）

1 複素数（Complex number)

\[例題　(1)\sqrt{-8}\sqrt{-6} \hspace{2cm} (2) \frac{3+i}{1+2i}\]

(%i1)

sqrt(-8)*sqrt(-6);

\[\mathrm{\tt (\%o1) }\quad -{{2}^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{6}\]

(%i2)

rootscontract(%);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad -4\cdot \sqrt{3}\]

(%i3)

(3+%i)/(1+2*%i);

\[\mathrm{\tt (\%o3) }\quad \frac{\%i+3}{2\cdot \%i+1}\]

(%i4)

%,rectform;

\[\mathrm{\tt (\%o4) }\quad 1-\%i\]

2 2次方程式の解と判別式

重解：multiple solution　判別式：discriminant \[例題　4x^2+3x+2=0 を解け。\]

(%i5)

solve(4*x^2+3*x+2=0,x);

\[\mathrm{\tt (\%o5) }\quad [x=-\frac{\sqrt{23}\cdot \%i+3}{8},x=\frac{\sqrt{23}\cdot \%i-3}{8}]\]

3 解と係数の関係

\[例題　2x^2+8x+3=0 の解を\alpha,\beta としたとき， \alpha^2+\beta^2,\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}の値を求めよ。\] 解と係数の関係については，解を使用して計算させればいいのですが，次のようにもできます。
対称式を基本対称式で表わす方法は，前に作ったマクロで

(%i6)

kais(a,b,c,f):=block(
l:solve(a*x^2+b*x+c,x),
ratsimp(ev(f,[p=ev(rhs(l[1])),q=ev(rhs(l[2]))]))
)$

(%i7)

kais(2,8,3,p^2+q^2);

\[\mathrm{\tt (\%o7) }\quad 13\]

(%i8)

kais(2,8,3,1/p+1/q);

\[\mathrm{\tt (\%o8) }\quad -\frac{8}{3}\]

(%i9)

solve([a+b=-4,a*b=3/2,a^2+b^2=x,1/a+1/b=y],[x,y,a,b]);

\[\mathrm{\tt (\%o9) }\quad [[x=13,y=-\frac{8}{3},a=-\frac{\sqrt{10}+4}{2},b=-\frac{3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}+12}{{{2}^{\frac{7}{2}}}\cdot \sqrt{5}+26}],[x=13,y=-\frac{8}{3},a=\frac{\sqrt{10}-4}{2},b=-\frac{3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{5}-12}{{{2}^{\frac{7}{2}}}\cdot \sqrt{5}-26}]]\]

(%i10)

kais2(p,q,f):=block(
l:solve([a+b=p,a*b=q,f=x],[x,a,b]),
return(l[1][1])
)$

(%i11)

kais2(-4,3/2,a^2+b^2);

\[\mathrm{\tt (\%o11) }\quad x=13\]

(%i12)

kais2(-4,3/2,1/a+1/b);

\[\mathrm{\tt (\%o12) }\quad x=-\frac{8}{3}\]

(%i13)

sym2(s,t,eq):=block(
rhs(solve(eliminate([x+y-s,x*y-t,c=eq],[x,y]),c)[1])
)$

(%i14)

sym2(s,t,x^2+y^2);

\[\mathrm{\tt (\%o14) }\quad {{s}^{2}}-2\cdot t\]

\[例題　 2次方程式　8x^2-mx+1=0 の1つの解が他の解の2倍となるように，定数mの値を定めよ。\]

(%i15)

solve([a+b=m/8,a*b=1/8,a=2*b],[a,b,m]);

\[\mathrm{\tt (\%o15) }\quad [[a=-\frac{1}{2},b=-\frac{1}{4},m=-6],[a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4},m=6]]\]

\[例題　2次式　2x^2-3x+2　を複素数の範囲で因数分解せよ。 \] 解けばいいわけですけど，Maximaには因数分解にオプシオンがあって，そいつを使えば。 factor (expr, p) factors expr over the field of rationals with an element adjoined whose minimum polynomial is p.

(%i16)

factor2(f):=block(
g:subst(a,x,f),
print(solve(g,a)),
factor(f,g)
)$

(%i17)

factor2(2*x^2-3*x+2);

\[[a=-\frac{\sqrt{7}\cdot \%i-3}{4},a=\frac{\sqrt{7}\cdot \%i+3}{4}]\] \[\mathrm{\tt (\%o17) }\quad \frac{\left( 2\cdot x-2\cdot a\right) \cdot \left( 2\cdot x+2\cdot a-3\right) }{2}\]

\[例題　2次方程式　x^2-2x+7=0　の2つの解を \alpha,\beta とするとき， \alpha+2,\beta+2 を解とする2次方程式の1つを求めよ。\] 例題は次のようにもできるし、こっちの方が楽です。解の変換（+2）の問題として、変換を元に戻す（-2）と前の方程式を満たすと考えます。

(%i18)

solve([a+b=2,a*b=7,p=a+2+b+2,q=(a+2)*(b+2)],[p,q,a,b]);

\[\mathrm{\tt (\%o18) }\quad [[p=6,q=15,a=1-\sqrt{6}\cdot \%i,b=-\frac{{{2}^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i+9}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i-3}],[p=6,q=15,a=\sqrt{6}\cdot \%i+1,b=-\frac{{{2}^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i-9}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \%i+3}]]\]

(%i19)

f(x):=x^2-2*x+7$

(%i20)

expand(f(x-2));

\[\mathrm{\tt (\%o20) }\quad {{x}^{2}}-6\cdot x+15\]

\[例題　2次方程式　x^2-mx-m+3=0　が異なる2つの正の解をもつとき，定数mの値の範囲を求めよ。\] 2次関数でやってあります。

(%i21)

load(fourier_elim)$

(%i22)

vertex(a,b,c):=[-b/2/a,-(b^2-4*a*c)/a/4]$

(%i23)

po2(a,b,c):=block(
fourier_elim([vertex(a,b,c)[1]>0,vertex(a,b,c)[2]<0,c>0],[m])
)$

(%i24)

po2(1,-m,-m+3);

\[\mathrm{\tt (\%o24) }\quad [2<m,m<3]\]

4 剰余の定理と因数定理

\[例題　整式　P(x)　を　x-2　で割ると4余り，x+3　で割ると-11余る。\\ 　P(x)を　(x-2)(x+3)　で割ったときの余りを求めよ。\] 残念ながらchinese（中国剰余定理）は整数のみのようだ。マクロを作る気にはちょっとなれないので，教科書にはない合同法の解法を示してみるか。 \[P(x)\equiv 4(\mod x-2),P(x)\equiv -11(\mod x+3)より\\ 以下　\mod (x-2)(x+3)　で　\\ (x+3)P(x)\equiv 4(x+3),(x-2)P(x)\equiv -11(x-2)を辺々引いて\\ 5P(x) \equiv 4(x+3)+11(x-2)=15x-10\\ よって　P(x) \equiv 3x-2\]

(%i25)

chinese([4,-11],[x-2,x+3]);

\[\mathrm{\tt (\%o25) }\quad \mathrm{chinese}\left( [4,-11],[x-2,x+3]\right) \]

5 高次方程式(higher degree equation)

\[例題　方程式　x^4-x^3-3x^2+x+2=0　を解け。\]

(%i26)

solve(x^4-x^3-3*x^2+x+2,x);

\[\mathrm{\tt (\%o26) }\quad [x=1,x=2,x=-1]\]

\[例題　x=1+\sqrt{2}i　が方程式　x^3+ax+b=0　の解であるとき，実数a,bの値と他の解を求めよ。\] realpart と imagpart は実部と虚部。こんなマクロ使わないか。

(%i27)

eq3(p,f):=block(
g(x):=ev(f),
g1:realpart(g(p)),
g2:imagpart(g(p)),
s:solve([g1,g2],[a,b]),
print(s),
solve(ev(f,s[1]),x)
)$

(%i28)

eq3(1+sqrt(2)*%i,x^3+a*x+b);

\[[[a=-1,b=6]]\] \[\mathrm{\tt (\%o28) }\quad [x=1-\sqrt{2}\cdot \%i,x=\sqrt{2}\cdot \%i+1,x=-2]\]

\[例題　3次方程式　x^3-5x^2+3x+1=0の3つの解を\alpha,\beta,\gammaとするとき，次の値を求めよ。\\ (1)\alpha^2+\beta^2+\gamma^2　　　　 (2)\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\] 最後は3次の解と係数の関係，上のマクロを少し変えて， \[a+b,ab+bc+ca,abc 　の値と求めたい対称式を入力する。\] 対称式を基本対称式で表したいなら前に作ったマクロを使って

(%i29)

kais3(p,q,r,f):=block(
l:solve([a+b+c=p,a*b+b*c+c*a=q,a*b*c=r,f=x],[x,a,b,c]),
return(l[1][1])
)$

(%i30)

kais3(5,3,-1,a^2+b^2+c^2);

\[\mathrm{\tt (\%o30) }\quad x=19\]

(%i31)

kais3(5,3,-1,1/a+1/b+1/c);

\[\mathrm{\tt (\%o31) }\quad x=-3\]

(%i32)

kill(all);

\[\mathrm{\tt (\%o0) }\quad \mathit{done}\]

(%i1)

sym3(s,t,u,eq):=block(
rhs(solve(eliminate([x+y+z-s,x*y+y*z+z*x-t,x*y*z-u,c=eq],[x,y,z]),c)[1])
)$

(%i2)

sym3(s,t,u,x^2+y^2+z^2);

\[\mathrm{\tt (\%o2) }\quad {{s}^{2}}-2\cdot t\]

複素数と方程式（Complexnumber and Equation）

1 複素数（Complex number)

複素数：complex number　虚数単位：imaginary unit 実部　：real part 虚部：imaginary part　虚数：imaginary number　純虚数：purely imaginary number 共役な複素数：conjugate

2 2次方程式の解と判別式

3 解と係数の関係

解と係数の関係：Newton's relations（マスマティカのページにこうある）

4 剰余の定理と因数定理

因数定理：factor theorem 剰余の定理:remainder theorem

5 高次方程式(higher degree equation)

３乗根，立方根:cubic root 代数学の基本定理:fundamental theorem of algebra

Created with wxMaxima.