2-1

$ \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} $

式と証明（Expressions and Certification)

1 式と計算（Expressions and calculations）

1.1 3次式の展開と因数分解(expression of the third order)

1.2 二項定理（binomial theorem）

1.3 整式の割り算

1.4 分数式とその計算

\[(1) \sum_{k=0}^{n}\,_nC_k,\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\,_nC_k,\sum_{k=0}^{n}(-2)^k\,_nC_k を計算せよ。\] $$(2) (a+b+c)^7の展開式におけるa^3b^2c^2の項の係数を求めよ。$$ $$(3) (2x^3+4x^2+7) \div (2x^2-3) を計算せよ。$$ $$(4) \frac{2x-3}{x^2-4x+3}-\frac{2x+3}{x^2-9} を計算せよ。$$

Diagram
Sumも結構な計算をこなす。

1.5 恒等式

\[次の等式が恒等式になるように，定数a,b,c,dの値を定めよ。\] \[(1)a(x+1)^2+b(x+1)+c=x^2+x+1\] \[(2)a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1\]
解法がすぐにわからないときは，どこからこんな問題が出てくるのかを考えよう。
\[(1)はx+1をyつまり右辺をxをx-1に変えたときの係数とも思える。\] \[x=-1のときのテイラー（taylor）展開（数III）と思ってもいい。\] \[x+1 で割った余りの繰り返し（進法変換と同じだ）と見破れば，組立除法をすれば，簡単にすむ。\]

ところで，上の図は，emathのマクロをTeX2imgで描いてますが，自分では何も計算してない，すごいです。
\[(2)は両辺をx(x+1)(x-1)で割れば部分分数変換（partialfractions）です。\]

2 等式と不等式の証明

2.1 等式の証明

\[ 例題　a+b+c=0 のとき a^3+b^3+c^3=3abc \]

2.2 不等式の証明

例題　以下の不等式を証明せよ。 \[(1) a>c,b>d のとき ab+cd>ad+bc\] \[(2) 2(x^2+y^2)\ge (x+y)^2 \hspace{3cm} (3) x^2+1>x \] \[(4) a^2+b^2\ge ab \hspace{3cm}(5) \frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0\] \[(6) \sqrt{a}+\sqrt{b}≥\sqrt{a+b} \hspace{3cm} (7) |a|+|b|≥|a+b| \]

assume 仮定する，真偽の判定はできる，証明は因数分解。

2次式の符号判定は平方完成，多変数の平方完成はちょっと変。

相加相乗平均は，正を仮定しないと真と判定してくれない。等号成立は大切。
平方根の「分けると増える定理」は，真と判定するが，絶対値の三角不等式は駄目そう。

式と証明（Expressions and Certification)

1 式と計算（Expressions and calculations）

1.1 3次式の展開と因数分解(expression of the third order)

1.2 二項定理（binomial theorem）

\[(1) \sum_{k=0}^{n}\,_nC_k,\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\,_nC_k,\sum_{k=0}^{n}(-2)^k\,_nC_k \]

$$(2) (a+b+c)^7の展開式におけるa^3b^2c^2の項の係数を求めよ。$$
例によってGeogebraの計算から。Sumも結構な計算をこなす。

和を計算する命令としては sum,simpsum,nusum,simplify_sum の順で強力になるらしい。

(%i1)

sum(binomial(n,k),k,0,n);

\[(\%o1)\sum_{k=0}^{n}{\left. \left( \begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}\right) \right.}\]

(%i2)

sum(binomial(n,k),k,0,n),simpsum;

\[(\%o2){{2}^{n}}\]

(%i3)

sum((-1)^k*binomial(n,k),k,0,k),simpsum;

\[(\%o3)\sum_{k=0}^{k}{\left. {{\left( -1\right) }^{k}}\,\left( \begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}\right) \right.}\]

(%i4)

nusum((-1)^k*binomial(n,k),k,0,n);

\[(\%o4)0\]

(%i5)

nusum((-2)^k*binomial(n,k),k,0,n);

\[(\%o5)\sum_{k=0}^{n}{\left. {{\left( -2\right) }^{k}}\,\left( \begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}\right) \right.}\]

(%i6)

load(simplify_sum)$

(%i7)

simplify_sum(sum((-2)^k*binomial(n,k),k,0,n));

\[(\%o7){{\left( -1\right) }^{n}}\]

(%i8)

coeff(coeff(coeff(expand((a+b+c)^7),a^3),b^2),c^2);

\[(\%o8)210\]

1.3 整式の割り算

(%i9)

divide(2*x^3+4*x^2+7,2*x^2-3);

\[(\%o9)[x+2,3x+13]\]

(%i10)

quotient(2*x^3+4*x^2+7,2*x^2-3);

\[(\%o10)x+2\]

(%i11)

divide(2*x^3-5*x^2*y+6*x*y^2-8*y^3,x-2*y);

\[(\%o11)[4{{y}^{2}}-xy+2{{x}^{2}},0]\]

1.4 分数式とその計算

(%i12)

combine(a/3+b/4);

\[(\%o12)\frac{3b+4a}{12}\]

(%i13)

f:(2*x-3)/(x^2-4*x+3)-(2*x+3)/(x^2-9);

\[\tag{f}\label{f}\frac{2x-3}{{{x}^{2}}-4x+3}-\frac{2x+3}{{{x}^{2}}-9}\]

(%i14)

g:xthru(f);

\[\tag{g}\label{g}\frac{\left( -2x-3\right) \,\left( {{x}^{2}}-4x+3\right) +\left( 2x-3\right) \,\left( {{x}^{2}}-9\right) }{\left( {{x}^{2}}-9\right) \,\left( {{x}^{2}}-4x+3\right) }\]

(%i16)

factor(num(g));factor(denom(g));

\[(\%o15)2{{\left( x-3\right) }^{2}}\] \[(\%o16){{\left( x-3\right) }^{2}}\,\left( x-1\right) \,\left( x+3\right) \]

(%i17)

ratsimp(f);

\[(\%o17)\frac{2}{{{x}^{2}}+2x-3}\]

(%i18)

factor(%);

\[(\%o18)\frac{2}{\left( x-1\right) \,\left( x+3\right) }\] 恒等式は MATHEMATICA という高いソフトには，命令があってすぐ未定係数を求めてくれるんですが，
Maxima には同じものはなさそうなので，作ってみました。

(%i19)

iden(f,x):=block(
g:expand(f),
h:g,[x=0],
l:[],m:[a,b,c,d,e,f],n:[],
for i:1 thru hipow(g,x) do push(coeff(g,x^i),l),
push(h,l),
for j:1 thru length(l) do push(m[length(l)+1-j],n),
solve(l,n)
)$

(%i20)

iden(a*(x+1)^2+b*(x+1)+c=x^2+x+1,x);

\[(\%o20)[[a=1,b=-1,c=1]]\]

(%i21)

expand((x-1)^2+(x-1)+1);

\[(\%o21){{x}^{2}}-x+1\]

(%i22)

taylor(x^2+x+1,x,-1,2);

\[(\%o22)/T, 1-\left( x+1\right) +{{\left( x+1\right) }^{2}}+\mbox{...}\]

(%i23)

iden(a*(x+1)*(x-1)+b*x*(x+1)+c*x*(x-1)=3*x-1,x);

\[(\%o23)[[a=1,b=1,c=-2]]\]

(%i24)

partfrac((3*x-1)/(x*(x-1)*(x+1)),x);

\[(\%o24)-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\]

2 等式と不等式の証明

2.1 等式の証明

証明の部分はこんなことができるのか，という例として。
is()は括弧の中身の真偽を答える。assume()は括弧の中身を仮定する。

(%i25)

c:-a-b$

(%i26)

is(expand(a^3+b^3+c^3)=expand(3*a*b*c));

\[(\%o26)\mbox{true}\]

2.2 不等式の証明

すべてがうまくいくとは限らないが，平方の形が負にはならないのは判断し，
それ以外は unknown（知ーラナイ）と返ってきます。

もっと驚いたのは，相加相乗平均も知っているようです。しかも，正という条件がつけば返事をしてくれます。
以下実験です。

(%i27)

kill(all)$

(%i1)

assume(a>c and b>d);

\[(\%o1)[a>c,b>d]\]

(%i2)

is(a*b+c*d>a*d+b*c);

\[(\%o2)\mbox{true}\]

(%i3)

is(2*(x^2+y^2)>=(x+y)^2);

\[(\%o3)\mbox{true}\]

(%i4)

solve(2*(x^2+y^2)=(x+y)^2,y);

\[(\%o4)[y=x]\]

(%i5)

is(x^2+1>x);

\[(\%o5)\mathit{unknown}\]

(%i6)

is(a^2+b^2>=a*b);

\[(\%o6)\mathit{unknown}\]

(%i7)

assume(a>0 and b>0);

\[(\%o7)[a>0,b>0]\]

(%i8)

is(a/b+b/a-2>=0);

\[(\%o8)\mbox{true}\]

(%i9)

solve(a/b+b/a-2=0,b);

\[(\%o9)[b=a]\]

(%i10)

is(c/d+d/c-2>=0);

\[(\%o10)\mathit{unknown}\]

(%i11)

is(sqrt(a)+sqrt(b)>=sqrt(a+b));

\[(\%o11)\mathit{unknown}\]

(%i12)

is(abs(a)+abs(b)>=abs(a+b));

\[(\%o12)\mbox{true}\]

(%i13)

solve(abs(a)+abs(b)=abs(a+b),b);

\[(\%o13)\mathit{all}\]

(%i14)

is(a^2+b^2+c^2>=a*b+b*c+c*a);

\[(\%o14)\mathit{unknown}\]

(%i15)

is((a^2+b^2+c^2)*(x^2+y^2+z^2)>=(a*x+b*y+c*z)^2);

\[(\%o15)\mathit{unknown}\]

式と証明（Expressions and Certification)

1 式と計算（Expressions and calculations）

1.1 3次式の展開と因数分解(expression of the third order)

1.2 二項定理（binomial theorem）

1.3 整式の割り算

除法：division　商：quotient　余り：remainder　組立除法：Synthetic Division
割り切れる：divisible（without a remainder）　因数：factor

整式の割り算は数と同じで，商と余りが両方出るのはdivide，商だけならquotient，
数だと余りだけ出すmodというのがあったが，整式ではないようだ。

1.4 分数式とその計算

分数式：fraction　有理式：rational
約分：reduce　既約：irreducible　通分：reduce（to a common denominator）

1.5 恒等式

恒等式:identity

2 等式と不等式の証明

比例式:proportional expression　MS P明朝のP、勝手に文字幅が動くやつね
連比:continued ratio
相加平均と相乗平均:arithmetic,geometric mean　等差と等比の違いですね

2.1 等式の証明

2.2 不等式の証明

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