\( \DeclareMathOperator{\abs}{abs} \newcommand{\ensuremath}[1]{\mbox{$#1$}} \)

図形と計量(Figure and Metric) 

1 三角比

線分なら segment,辺なら side,角は angle
 このangleは釣り針から,アングル族も英国も
鋭角 acute,直角 right,鈍角 obtuse,平角180°は最近聞かない
 「キュートな」という形容詞はこのacuteのaが抜けたものだと
 ∠R はright angleから(正しいという感じがしますね)
三角比 trigonometric ratio,正接 tangent,正弦 sine,余弦 cosine
 tangentは接線の意味もあるというか,接するからきている
余角 complementary angle の正弦が余弦,補角 supplementary angle
 補って complete にする,補うため supply する
 周期公式は負角と余角と補角の公式のことだ
\[\sin(90^\circ-\theta)=\cos \theta\ 余角の正弦だから余弦\]
俯角 angle of depression,仰角 angle of elevataion
 憂鬱な角と高尚な角かよ

\[1. \theta は鋭角とする。\cos \theta=\frac{2}{3} のとき,
   \sin \theta と \tan \theta の値を求めよ。 \]
\[2. 0^\circ\le \theta\le 180^\circ のとき,次の等式を満たす \thetaを求めよ。
   \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

(%i2) sin(a:acos(2/3));tan(a);
\[(\%o1)\frac{\sqrt{5}}{3}\] \[(\%o2)\frac{\sqrt{5}}{2}\]

単位円 unit circle
 uniqueな人というのはほめ言葉か?
負角・余角・補角の関係で答がいくつかあるとか,符号が逆になるとかは図をかいて自分で考えましょう。
この手のもの,Geobebraのほうが優秀か?

(%i3) asin(sqrt(3)/2);
\[(\%o3)\frac{\ensuremath{\pi} }{3}\]

図 1:
Diagram

2 三角形への応用

正弦定理 sine theorem,余弦定理 cosine theorem
外接円(外心)circum circle(circum center),内接円(内心)inscribed circle(incenter)
傍接円(傍心)escribed circle(excenter)
ついでに垂心 orthcenter,重心 barycenter
 英語だと内接円と傍接円が近い,外心・重心・垂心はオイラー線で仲がいい
三角形 triangle,四角形 quadrangle,球 sphere
 3つの角度,3辺形とはいわない
四角形 quadrangle 4辺形とはいう four-sided figure
二等辺三角形 isosceles triangle,正三角形 equilateral,直角三角形 right triangle
台形 frustum,平行四辺形 parallelogram,ひし形 rhombuse,長方形 rectangle,正方形 square

\[\triangle ABC において 1. a=10,B=60^\circ,C=75^\circ のとき,
   b と外接円の半径 R を求めよ。\]
\[2.  b=2,c=\sqrt{6},B=45^\circ のとき,
       C,A を求めよ。\]
\[3. b=\sqrt{7},c=3,B=60^\circ のとき,
       a を求めよ。\]
\[4.  b=2,c=1+\sqrt{3},A=30^\circ のとき,
       a,B,C を求めよ。\]
\[5. a=13,b=14,c=15 である三角形の面積と内接円の半径を求めよ。\]
\[6. 円に内接する四角形ABCDにおいて,AB=2\sqrt{2},BC=3,CD=\sqrt{2},\angle ABC=45^\circ
       とするとき,ADと四角形ABCDの面積を求めよ。\]

基本的に,三角形の決定条件を与えて残りの量を計算して出力するというものにする。
決定条件でない,答が二つあるものとかは自分で考える必要あり。
ルートの計算はratsimpが分数の簡単化,radcanはradical(根号)canonical(標準),そしてrootscontractは根号の掛け算。

(%i4) kill(all)$
(%i1) Seigen(a,B,C):=block(
A:180-B-C,
A1:A/180*%pi,
B1:B/180*%pi,
C1:C/180*%pi,
b:a*sin(B1)/sin(A1),
c:a*sin(C1)/sin(A1),
return([A,b,c,"radius of circumcircle",a/sin(A1)/2])
)$
(%i2) Seigen(10,60,75);
\[(\%o2)[45,5\sqrt{2}\,\sqrt{3},5{{2}^{\frac{3}{2}}}\,\sin{\left( \frac{5\ensuremath{\pi} }{12}\right) },radius\,of\,circumcircle,5\sqrt{2}]\]
(%i3) rootscontract(%);
\[(\%o3)[45,5\sqrt{6},5{{2}^{\frac{3}{2}}}\,\sin{\left( \frac{5\ensuremath{\pi} }{12}\right) },radius\,of\,circumcircle,5\sqrt{2}]\]
(%i4) Seigen1(b,c,B):=block(
B1:B/180*%pi,
C1:asin(c*sin(B1)/b),
return([C1*180/%pi,180-B-C1*180/%pi])
)$
(%i5) Seigen1(2,sqrt(6),45);
\[(\%o5)[\frac{180\operatorname{asin}\left( \frac{\sqrt{6}}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\right) }{\ensuremath{\pi} },135-\frac{180\operatorname{asin}\left( \frac{\sqrt{6}}{{{2}^{\frac{3}{2}}}}\right) }{\ensuremath{\pi} }]\]
(%i6) radcan(%);
\[(\%o6)[60,75]\]
(%i7) Yogen1(b,c,B):=block(
B1:B/180*%pi,
return(solve(a^2+c^2-2*a*c*cos(B1)=b^2,a))
)$
(%i8) Yogen1(sqrt(7),3,60);
\[(\%o8)[a=1,a=2]\]
(%i9) Yogen(a,b,C):=block(
c:sqrt(a^2+b^2-2*a*b*cos(C/180*%pi)),
A1=asin(a*sin(C/180*%pi)/c),
B1=180-C-A1/%pi*180,
return([c,A1/%pi*180,180-C-A1/%pi*180])
)$
(%i10) Yogen(2,1+sqrt(3),30);
\[(\%o10)[\sqrt{{{\left( \sqrt{3}+1\right) }^{2}}-2\sqrt{3}\,\left( \sqrt{3}+1\right) +4},45,105]\]
(%i11) ratsimp(%);
\[(\%o11)[\sqrt{2},45,105]\]
(%i12) yogen(a,b,c):=block(
C:acos((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))*180/%pi,
A:acos((b^2+c^2-a^2)/(2*c*b))*180/%pi,
B:acos((a^2+c^2-b^2)/(2*a*c))*180/%pi,
S:sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b))/4,
r:2*S/(a+b+c),
return[A,B,C,"aera",S,"radius of inscribed circle",r]
)$
(%i13) yogen(13,14,15);
\[(\%o13){{\mbox{return}}_{\frac{180\operatorname{acos}\left( \frac{3}{5}\right) }{\ensuremath{\pi} },\frac{180\operatorname{acos}\left( \frac{33}{65}\right) }{\ensuremath{\pi} },\frac{180\operatorname{acos}\left( \frac{5}{13}\right) }{\ensuremath{\pi} },aera,84,radius\,of\,inscribed\,circle,4}}\]
(%i14) sikaku(a,b,c,A):=[
e:ev(d,solve(d^2+c^2+2*cos(A/180*%pi)*(c*d+a*b)=a^2+b^2,d)[2]),
"area",
sqrt((a+b+c-e)*(a+b-c+e)*(b+c-a+e)*(c+a-b+e))/4
]$
(%i15) sikaku(2*sqrt(2),3,sqrt(2),45);
\[(\%o15)[1,area,\frac{\sqrt{4-\sqrt{2}}\,\sqrt{\sqrt{2}+4}\,\sqrt{3\sqrt{2}-2}\,\sqrt{3\sqrt{2}+2}}{4}]\]
(%i16) rootscontract(%);
\[(\%o16)[1,area,\frac{7}{2}]\]

2次元と3次元の量
面積 area,表面積 surface area,側面積 lateral area,底面積 basic area,体積 volume
四面体 tetrahedron ギリシャ語の4
 体積をVで表すのは volumeだろう,面積をSで表すのは square measure あるいは size なんだろうか

\[ 1辺2の正四面体ABCDの体積と,辺BCの中点をMとしたときの,\cos \angle AMDの値を求めよ。\]

図 2:
Diagram

人間は3次元空間に生きており(時間を入れると4次元空間),平面上に3次元を表現するのも訓練の賜物だ。
3次元の歪んだ図を工夫して2次元の図に書けばいい。
それが投影図。3つの2次元の図(平面図,正面図,側面図)で空間を表現する。
 平面図のことを Plan という。
あるいは,問題の事件が起こる平面で切断すればいい。
 切断図のことを cross sction という。

図 3:
Diagram
(%i19) AD:2$AM:sqrt(3)$CH:AM/3$
(%i20) CH/AM;
\[(\%o20)\frac{1}{3}\]
(%i21) S:(sqrt(3)*2^2/4)*sqrt(AM^2-CH^2)/3;
\[\tag{S}\label{S}\frac{{{2}^{\frac{3}{2}}}}{3}\]

\[2^{\frac{3}{2}} は何かって?\]

(%i22) sqrtt(a):=block(
a:a^2,
jj:1,
ss:1,
l:ifactors(a),
m:length(l),
for i:1 thru m do
(
b:l[i][1],
j:floor(l[i][2]/2),
r:mod(l[i][2],2),
jj:jj*j*b,
ss:ss*sqrt(b^r)
),
print(jj,rootscontract(ss))
)$
(%i23) sqrtt(2^(3/2))$
\[2 \sqrt{2} \]
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