図形と計量(Figure and Metric)
1 三角比
\[1. \theta は鋭角とする。\cos \theta=\frac{2}{3} のとき,\sin \theta と \tan \theta の値を求めよ。 \] \[2. 0^\circ\le \theta\le 180^\circ のとき,次の等式を満たす \thetaを求めよ。\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \]2 三角形への応用
\[\triangle ABC において\] \[1. a=10,B=60^\circ,C=75^\circ のとき,b と外接円の半径 R を求めよ。\](%i2) | sin(a:acos(2/3));tan(a); |
負角・余角・補角の関係で答がいくつかあるとか,符号が逆になるとかは図をかいて自分で考えましょう。
(%i3) | asin(sqrt(3)/2); |
(%i4) | kill(all)$ |
(%i1) |
Seigen(a,B,C):=block( A:180-B-C, A1:A/180*%pi, B1:B/180*%pi, C1:C/180*%pi, b:a*sin(B1)/sin(A1), c:a*sin(C1)/sin(A1), return([A,b,c,"radius of circumcircle",a/sin(A1)/2]) )$ |
(%i2) | Seigen(10,60,75); |
(%i3) | rootscontract(%); |
(%i4) |
Seigen1(b,c,B):=block( B1:B/180*%pi, C1:asin(c*sin(B1)/b), return([C1*180/%pi,180-B-C1*180/%pi]) )$ |
(%i5) | Seigen1(2,sqrt(6),45); |
(%i6) | radcan(%); |
(%i7) |
Yogen1(b,c,B):=block( B1:B/180*%pi, return(solve(a^2+c^2-2*a*c*cos(B1)=b^2,a)) )$ |
(%i8) | Yogen1(sqrt(7),3,60); |
(%i9) |
Yogen(a,b,C):=block( c:sqrt(a^2+b^2-2*a*b*cos(C/180*%pi)), A1=asin(a*sin(C/180*%pi)/c), B1=180-C-A1/%pi*180, return([c,A1/%pi*180,180-C-A1/%pi*180]) )$ |
(%i10) | Yogen(2,1+sqrt(3),30); |
(%i11) | ratsimp(%); |
(%i12) |
yogen(a,b,c):=block( C:acos((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))*180/%pi, A:acos((b^2+c^2-a^2)/(2*c*b))*180/%pi, B:acos((a^2+c^2-b^2)/(2*a*c))*180/%pi, S:sqrt((a+b+c)*(a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b))/4, r:2*S/(a+b+c), return[A,B,C,"aera",S,"radius of inscribed circle",r] )$ |
(%i13) | yogen(13,14,15); |
(%i14) |
sikaku(a,b,c,A):=[ e:ev(d,solve(d^2+c^2+2*cos(A/180*%pi)*(c*d+a*b)=a^2+b^2,d)[2]), "area", sqrt((a+b+c-e)*(a+b-c+e)*(b+c-a+e)*(c+a-b+e))/4 ]$ |
(%i15) | sikaku(2*sqrt(2),3,sqrt(2),45); |
(%i16) | rootscontract(%); |
(%i19) | AD:2$AM:sqrt(3)$CH:AM/3$ |
(%i20) | CH/AM; |
(%i21) | S:(sqrt(3)*2^2/4)*sqrt(AM^2-CH^2)/3; |
\[2^{\frac{3}{2}} は何かって?\]
(%i22) |
sqrtt(a):=block( a:a^2, jj:1, ss:1, l:ifactors(a), m:length(l), for i:1 thru m do ( b:l[i][1], j:floor(l[i][2]/2), r:mod(l[i][2],2), jj:jj*j*b, ss:ss*sqrt(b^r) ), print(jj,rootscontract(ss)) )$ |
(%i23) | sqrtt(2^(3/2))$ |
1 三角比
線分なら segment,辺なら side,角は angle
このangleは釣り針から,アングル族も英国も
鋭角 acute,直角 right,鈍角 obtuse,平角180°は最近聞かない
「キュートな」という形容詞はこのacuteのaが抜けたものだと
∠R はright angleから(正しいという感じがしますね)
三角比 trigonometric ratio,正接 tangent,正弦 sine,余弦 cosine
tangentは接線の意味もあるというか,接するからきている
余角 complementary angle の正弦が余弦,補角 supplementary angle
補って complete にする,補うため supply する
周期公式は負角と余角と補角の公式のことだ
\[\sin(90^\circ-\theta)=\cos \theta\ 余角の正弦だから余弦\]
俯角 angle of depression,仰角 angle of elevataion
憂鬱な角と高尚な角かよ
単位円 unit circle
uniqueな人というのはほめ言葉か?
2 三角形への応用
正弦定理 sine theorem,余弦定理 cosine theorem
外接円(外心)circum circle(circum center),内接円(内心)inscribed circle(incenter)
傍接円(傍心)escribed circle(excenter)
ついでに垂心 orthcenter,重心 barycenter
英語だと内接円と傍接円が近い,外心・重心・垂心はオイラー線で仲がいい
三角形 triangle,四角形 quadrangle,球 sphere
3つの角度,3辺形とはいわない
四角形 quadrangle 4辺形とはいう four-sided figure
二等辺三角形 isosceles triangle,正三角形 equilateral,直角三角形 right triangle
台形 frustum,平行四辺形 parallelogram,ひし形 rhombuse,長方形 rectangle,正方形 square
2次元と3次元の量
面積 area,表面積 surface area,側面積 lateral area,底面積 basic area,体積 volume
四面体 tetrahedron ギリシャ語の4
体積をVで表すのは volumeだろう,面積をSで表すのは square measure あるいは size なんだろうか
人間は3次元空間に生きており(時間を入れると4次元空間),平面上に3次元を表現するのも訓練の賜物だ。
3次元の歪んだ図を工夫して2次元の図に書けばいい。
それが投影図。3つの2次元の図(平面図,正面図,側面図)で空間を表現する。
平面図のことを Plan という。
あるいは,問題の事件が起こる平面で切断すればいい。
切断図のことを cross sction という。